728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Bất đẳng thức Hàm lồi và thử giải Bài T7/420 Toán học tuổi trẻ

Vừa mua tờ Toán học tuổi trẻ tháng 6 năm 2012 thấy có một bài có thể giải được bằng cách sử dụng bất đẳng thức hàm lồi nên viết vội một bài nhỏ nói đến vấn đề này. Hy Vọng các bạn đọc quan tâm.
Trước tiên bạn có thể tham khảo sách: Giải tích lồi - Convex Analysis 

Đầu tiên ta quan tâm đến khái niệm tập lồi. Dễ thôi, không có khó đâu.
1. Tập lồi: Tập $X\subset \mathbb{R}$ được gọi là tập lồi nếu và chỉ nếu
$\forall x,y\in X$, $t\in [0, 1]$ suy ra được $tx+(1-t)y \in X.$
Ví dụ: Các tập $ \mathbb{R}; [0, 1]; (0, 1); (0, 1] $ là những tập lồi. Tập   $\mathbb{Q}, \mathbb{Z}$ không phải là tập lồi.
2. Hàm lồi: Hàm số $f(x)$ xác định trên tập lồi $X\subset \mathbb{R}$, được gọi là hàm lồi nếu $\forall x,y\in X, t\in [0, 1]$ suy ra được $f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$
3. Định lý: Hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm cấp 2 trên $(a, b)$ thỏa mãn điều kiện $f''(x)\leq 0, \forall x\in (a, b)$ thì $f(x)$ là một hàm lồi  trên $(a, b)$.
Chứng minh: 
$\forall x,y\in (a, b), t\in [0, 1]$, không mất tính tổng quát ta có thể giải sử $x < y$, khi đó $x <tx+(1-t)y <y$
Theo định lý Lagrange thì tồn tại $c_1\in (x,tx+(1-t)y)$, $c_2\in (tx+(1-t)y, y)$  sao cho
$$\frac{f(tx+(1-t)y)-f(x)}{(tx+(1-t)y)-x}=f'(c_1),$$
$$\frac{f(y)-f(tx+(1-t)y)}{y-(tx+(1-t)y)}=f'(c_2)$$
 Vì $f''(x)\leq 0, \forall x\in (a, b)$ nên $f'(c_1)\geq f'(c_2)$, do đó
$$\frac{f(tx+(1-t)y)-f(x)}{(tx+(1-t)y)-x}\geq \frac{f(y)-f(tx+(1-t)y)}{y-(tx+(1-t)y)}$$
Suy ra
$$f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$$.
Vậy $f(x)$ là một hàm lồi.
4. Hàm lõm: Hàm số $f(x)$ xác định trên tập lồi $X\subset \mathbb{R}$, được gọi là hàm lõm nếu $\forall x,y\in X, t\in [0, 1]$ suy ra được $f(tx+(1-t)y) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$\
Nhận xét: $f$ là hàm lồi khi và chỉ khi $-f$ là hàm lõm.
Như vậy hàm số $f(x)$ xác định và có đạo hàm cấp 2 trên $(a, b)$ thỏa mãn điều kiện $f''(x)\geq 0, \forall x\in (a, b)$ thì $f(x)$ là một hàm lõm  trên $(a, b)$.
5. Định lý: Cho $f$ là hàm lồi xác định trên tập $(a, b)$. Khi đó  $ \forall x_1, ..., x_n\in (a, b), t_i\in [0,1] $, sao cho $\sum \limits^{n}_{i=1}t_i=1$ thì
$$f(\sum \limits^{n}_{i=1}t_i x_i)\geq\sum \limits^{n}_{i=1}t_i f(x_i)$$
Chứng minh: Ta chứng minh bằng quy nạp
Rõ ràng BĐT trên đúng với $n=1,2$, giải sử nó đúng với $n=k-1$. Khi đó
$$f(\sum \limits^{k}_{i=1}t_i x_i)\geq \sum \limits^{k-2}_{i=1}t_i f(x_i)+(t_{k-1}+t_k)f(\frac{t_{k-1}}{t_{k-1}+t_k}x_{k-1}+\frac{t_{k}}{t_{k-1}+t_k}x_k)\geq \sum \limits^{k}_{i=1}t_i f(x_i).$$
BĐT đã cho đã được cm xong.
Bài T7/ 420:  Cho $a, b, c$ là các số thực không âm có tổng bằng 1. Chứng minh rằng
$$(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)\geq {(\frac{10}{9})}^3$$
Chứng minh:
BĐT đã cho tuơng đương với
$$ln(1+a^2)+ln(1+b^2)+ln(1+c^2)\geq 3ln{(\frac{10}{9})}\quad (*)$$
Xét hàm số $f(x)=ln(1+x^2)$ với $x>0$, ta có $f''(x)=\frac{2}{(1+x^2)^2}>0$, Do đó $f$ là một hàm lõm, do đó
$$\frac{1}{3}ln(1+a^2)+\frac{1}{3}ln(1+b^2)+\frac{1}{3}ln(1+c^2)\geq ln(1+(\frac{a+b+c}{3})^2)=ln{(\frac{10}{9})}$$
BĐT $(*)$ đã được cm.
 Suy ra đpcm.
Bất đẳng thức Hàm lồi và thử giải Bài T7/420 Toán học tuổi trẻ Reviewed by Tân Phúc on 11:53:00 Rating: 5 Vừa mua tờ Toán học tuổi trẻ tháng 6 năm 2012 thấy có một bài có thể giải được bằng cách sử dụng bất đẳng thức hàm lồi nên viết vội một bài ...

1 nhận xét:

  1. Không biết phương pháp này có dùng trong đề thi ĐH được không nhỉ?

    Trả lờiXóa

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.