728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Hàm tử biểu diễn được

Hàm tử biểu diễn được:
Một hàm tử $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{S}$ từ phạm trù $\mathcal{C}$ tới phạm trù tập hợp được gọi là một hàm tử biểu diễn được, nếu có một cặp $(R,r)$ gồm một vật $R\in Ob(\mathcal{C})$ và một họ song ánh
$$r={r_X:[R,X]_{\mathcal{C}}\longrightarrow F(X)\ |\ X\in Ob(\mathcal{C})}$$
tự nhiên tại $X,$ tức là có một tương đương tự nhiên $r$ giữa hàm tử $F$ và hàm tử $[R,-]_{\mathcal{C}}$ xác định như sau
$$\begin{array}{cccccc}
r&:Ob(\mathcal{C}&\longrightarrow& Mor(\mathcal{S})&&\\
&X&\longmapsto &r(X): [R,X]_{\mathcal{C}}&\longrightarrow& F(X)
\end{array}$$
trong đó
$$\begin{array}{cccccc}
 [R,-]_{\mathcal{C}}:&\mathcal{C}&\longrightarrow &\mathcal{S}  &  &  \\
 &X  &\longmapsto  &[R,X]_{\mathcal{C}}&  &\\
  &X\overset{\alpha}{\longrightarrow}Y&\longmapsto  &[R,X]_{\mathcal{C}}&\overset{[R,\alpha]}{\longrightarrow}&[R,Y]_{\mathcal{C}}
\end{array}$$
và $r(X)$ là một đẳng xạ, tức là một song ánh trong $\mathcal{S}.$
Khi đó, ta cũng nói hàm tử $F$ được biểu diễn bởi vật $R$ hay vật $R$ biểu diễn hàm tử $F.$
Nhận xét:
Một biểu diễn của hàm tử $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{S}$ là một tương đương tự nhiên $r:H^A\simeq F,$ trong đó hàm tử $H^A:\mathcal{C}\longrightarrow \mathcal{S}$ được xác định như sau:
$$\begin{array}{cccc}
H^A: &\mathcal{C}&\longrightarrow  & \mathcal{S} \\
 & X & \longmapsto & [A,X]_{\mathcal{C}}\\
 &X\overset{\alpha}{\longrightarrow}Y&\longmapsto &H^A(X)\overset{H^A(\alpha)}{\longrightarrow}H^A(Y)\\
 &  &  &f\longmapsto \alpha f
\end{array}$$
Ví dụ:.
Hàm tử $F: \mathcal{G}r\longrightarrow \mathcal{S}$ được biểu diễn bởi nhóm $(\mathbb{Z},+),$ vì ta có song ánh tự nhiên tại nhóm $G.$

$$\begin{array}{ccc}
[\mathbb{Z},G]_{\mathcal{C}} &\longrightarrow  &F(G)  \\
f & \longmapsto &f(1)
\end{array}$$

dinh nghia ham tu


Phần tử độc xạ:
Định nghĩa phần tử độc xạ:
  Giả sử $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{S}$ là một hàm tử hiệp biến từ phạm trù $\mathcal{C}$
tới phạm trù tập hợp. Một \textit{phần tử độc xạ} đối với hàm tử $F$ là một cặp $(u,X)$ gồm một vật $X$ của $\mathcal{C}$ và một phần tử $u \in F(X)$ thoả mãn tính chất:
Với mọi vật $Y$ của $\mathcal{C}$ và với mọi phần tử $v \in F(Y)$, tồn tại duy nhất một cấu xạ $\alpha : X \to Y$ sao cho $F(\alpha )(u)= v$.
Mệnh đề:
  Nếu $u \in F(X)$ và $u' \in F(Y)$ đều là phần tử độc xạ đối với cùng một hàm tử $F: \mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{S}$ thì tồn tại một đẳng xạ duy nhất $ \alpha : X \longrightarrow Y$ sao cho $F(\alpha )(u)= u'$.
Chứng minh:
$u$ độc xạ $\Rightarrow \exists ! \alpha : X \longrightarrow Y$ sao cho $  F(\alpha )(u)= u'$.
$u'$ độc xạ $\Rightarrow \exists ! \beta : Y \longrightarrow X$ sao cho $  F(\alpha )(u')= u$.
Do đó $u = (F(\beta)F(\alpha))(u) = F(\beta \alpha)(u) = F(1_X)(u).$
Vì $u$ độc xạ nên $1_X = \beta \alpha$.
Tương tự $u'$ độc xạ nên $1_Y = \alpha \beta$. Vậy ta được điều phải chứng minh.
Ví dụ:
 Giả sử $\alpha : M \to N $ là đồng cấu $R$ - Môđun.
Xét ánh xạ $H_M^ \alpha (X) = \{\beta : X\longrightarrow M/ \alpha \beta = 0\}$. Lúc này $H_M^ \alpha$ là hàm tử.


Phần tử độc xạ của $H_M^ \alpha$ là một cặp $(u,P)$ gồm một $R$ - Môđun $P$ và một phần tử $u \in H_M^ \alpha (P)$. Tức là một $R$ - đồng cấu $u: P\longrightarrow M$ sao cho, đối với mọi $R$ - Môđun $X$ và mọi phần tử $v \in H_M^ \alpha (X)$, tức là mọi $R$ đồng cấu $v: X \longrightarrow M$ sao cho $\alpha v = 0$, tồn tại một $R$ - đồng cấu duy nhất $h: X \longrightarrow P $ sao cho $v = H_M(h)(u) = uh$.
Lúc này $(i,Ker\alpha)$ là phần tử độc xạ đối với $H_M^ \alpha$.


Định lý: Nếu $u$ thuộc $F(R)$ là một phần tử độc xạ đối với một hàm tử hiệp biến $F$ thì với mọi vật $X$ của $\mathcal{C}$ tồn tại một song ánh:
  $$\begin{array}{cccc}
\varphi(X):&[R,X]_\mathcal{C}&\longrightarrow&F(X)\\
&\alpha&\longmapsto&F(\alpha)(u)
\end{array}$$
tự nhiên đối với X. Nói cách khác $\varphi$ là một tương đương tự nhiên giữa các hàm tử $H^R$ và $F$.
Hàm tử biểu diễn được Reviewed by Tân Phúc on 00:04:00 Rating: 5 Hàm tử biểu diễn được: Một hàm tử $F:\mathcal{C}\longrightarrow\mathcal{S}$ từ phạm trù $\mathcal{C}$ tới phạm trù tập hợp được gọi là một h...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.