728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Định nghĩa Ánh xạ Đa trị

Định nghĩa 1:
Giả sử  $X,Y$ là hai tập hợp. Kí hiệu  $2^Y$ là tập tất cả các tập con của $Y$. Một   ánh xạ đa trị  $F$ từ $X$ vào $Y$ là một ánh xạ từ $X$ vào $2^Y$, kí hiệu: ánh xạ đa trị $F: X \rightsquigarrow Y$.
Cho $F: X \rightsquigarrow Y$ là một ánh xạ đa trị, ta định nghĩa đồ thị của $F$ và kí hiệu là $\text{Graph} (F)\subset X\times Y$ được xác định như sau: $$\text{Graph} (F)=\{(x,y)|\ y\in F(x)\}.$$
Ta thường nói gọn ánh xạ đa trị $F$ thay cho ánh xạ đa trị $F: X \rightsquigarrow Y$ khi  không có sự nhầm lẫn.
Ánh xạ đa trị $F$ được gọi là không tầm thường nếu Graph$(F) \neq \emptyset$, nghĩa là tồn tại $x\in X$ sao cho $F(x)\neq \emptyset$. Nếu $F(x)\neq \emptyset$ với mọi $x\in X$ thì ta nói rằng ánh xạ đa trị $F$ là chân chính.
Miền của ánh xạ đa trị $F$, kí hiệu Dom$(F)$ là tập $\{x\in X|\ F(x)\neq \emptyset\}$.Ảnh của ánh xạ đa trị $F$ được cho bởi $$\text{Im}(F)=\bigcup\limits_{x\in X}F(x).$$
Nếu $M$ là tập  con khác rỗng của $X$ và $F$ là ánh xạ đa trị từ $X$ vào $Y$ thì ta dùng kí hiệu $F|_M$ để chỉ ánh xạ đa trị thu hẹp của $F$ lên $M$ và được định nghĩa
\begin{equation*}
    F|_M(x)=\left\{
      \begin{array}{ll}
        F(x) & \hbox{ nếu } x\in M,\\
        \emptyset & \hbox{ nếu } x \notin M.
      \end{array}
    \right.
\end{equation*}
anh xa da tri

Bây giờ, ta xét $X$ và $Y$ là hai không gian mêtric (hay không gian định chuẩn) và $F$ là ánh xạ đa trị từ $X$ vào $Y$.
 Định nghĩa 2: \up{á}nh xạ đa trị  $F: X \rightsquigarrow Y$ được gọi là  nửa liên tục trên tại  $x\in \text{Dom}(F)$ nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận $\mathcal{U}$ của $F(x)$, tồn tại một số dương $r$ sao cho
$$\forall y\in B_X(x,r), F(y)\subset \mathcal{U},$$
trong đó $B_X(x,r)$ là hình cầu trong $X$ có tâm $x$ và bán kính $r$.
$F$ được gọi là  nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi $x\in \text{Dom}(F)$.
Định nghĩa 3: Ánh xạ đa trị  $F: X \rightsquigarrow Y$ được gọi là nửa liên tục dưới tại $x\in \text{Dom}(F)$ nếu và chỉ nếu với mỗi tập mở $\mathcal{U}\subset Y$ mà $\mathcal{U}\cap F(x)\neq \emptyset$, tồn tại một số dương $r$ sao cho
$$\forall y\in B_X(x,r), \mathcal{U}\cap F(y) \neq \emptyset.$$
$F$ được gọi là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu nó nửa liên tục dưới tại mọi $x\in \text{Dom}(F)$.


Các bạn có thể xem, tham khảo cuốn sách: Giải tích đa trị
Định nghĩa Ánh xạ Đa trị Reviewed by Tân Phúc on 23:28:00 Rating: 5 Định nghĩa 1: Giả sử  $X,Y$ là hai tập hợp. Kí hiệu  $2^Y$ là tập tất cả các tập con của $Y$. Một   ánh xạ đa trị  $F$ từ $X$ vào $Y$ là m...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.