728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Nửa nhóm, vị nhóm và nhóm


Một số định nghĩa  về nửa nhóm, vị nhóm và nhóm:

Nửa nhóm:  Một nửa nhóm là một cặp $(X, T)$ trong đó $X$ là một tập không rỗng và $T$ là một phép toán hai ngôi trên $X$ có tính chất kết hợp.
Như vậy nếu $(X, T)$ là một nửa nhóm thì $$(xT y)T z=xT(yTz)$$
với mọi $x,y,z\in X$.
 Nếu phép toán $T$ đã rõ ràng và không sợ nhầm lẫn thì người ta cũng nói $X$ là nữa nhóm.
Vị nhóm:
 Định nghĩa: Một nửa nhóm có phần tử trung lập thì ta gọi là một vị nhóm.
 Một nửa nhóm (vị nhóm) mà phép toán có tính chất giao hoán thì ta gọi là một nửa nhóm (vị nhóm) giao hoán.
Ví dụ:
  • Tập $\mathbb{N}$ cùng với phép cộng thông thường là một vị nhóm giao hoán, phần tử trung lập là số 0; $\mathbb{N}$ cũng là một vị nhóm giao hoán đối với phép nhân thông thường, phần tử trung lập là số 1.
  • $\big( \mathcal{P}(X), \cup\big)$ là một vị nhóm, phần tử trung lập là $\emptyset$.$\big( \mathcal{P}(X), \cap\big)$ là một vị nhóm, phần tử trung lập là $X$.
  • ${\mathbb{N}}^{*}$ là nửa nhóm giao hoán đối với phép lấy ƯCLN và phép lấy BCNN. ${\mathbb{N}}^{*}$ cùng với phép lấy BCNN là một vị nhóm. Tuy nhiên ${\mathbb{N}}^{*}$ không phải là một vị nhóm đối với phép lấy ƯCLN.
  • $\big($Hom$(X,X), .\big)$ là một vị nhóm đối với phép lấy tích ánh xạ, phần tử trung lập là ánh xạ đồng nhất $1_{X}$.
Nhóm: 
Định nghĩa: Một vị nhóm mà mọi phần tử của nó đều có phần tử đối xứng thì ta gọi là một nhóm.
Như vậy, một nhóm là một cặp $(X, \circ)$ trong đó $X$ là một tập không rỗng, và  $\circ$ là một phép toán trên $X$ thỏa mãn ba điều kiện sau:\\
  • Phép toán $\circ$ có tính chất kết hợp: $(x\circ y)\circ z = x\circ(y\circ z)$ với mọi $x,y,z \in X$.
  • Phép toán $\circ$ có phần tử trung lập $e$: $\exists e\in X, e\circ x=x\circ e= x$ với mọi $x\in X$.
  •  Mọi phần tử $x \in X$ đều có phần tử đối xứng: $\forall x\in X, \exists x' \in X, x\circ x' = x'\circ x=e$.
Ta gọi nhóm $X$ là nhóm giao hoán nếu phép toán trong $X$ có tính chất giao hoán. Nhóm giao hoán còn được gọi là nhóm Aben.
 Sau này nếu $X$ là một nhóm đối với phép cộng thì ta gọi tắt $X$ là nhóm cộng, nếu $X$ là một nhóm đối với phép nhân thì ta gọi tắt $X$ là nhóm nhân.
Ví dụ:
  • Tập hợp số nguyên $\mathbb{Z}$ cùng với phép cộng thông thường là một nhóm Aben. Cũng như vậy, tập $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ là nhóm Aben đối vói phép toán cộng thông thường.
  • Tập hợp các số hữu tỉ dương ${\mathbb{Q}}^{*}_{+}$ là một nhóm Aben đối với phép nhân vì: phép nhân các số hữu tỉ có tính chất kết hợp, phần tử trung lập là số 1, phần tử đối xứng của $a\in {\mathbb{Q}}^{*}_{+}$ là $\frac{1}{a}$.
  •  Cho $X\not=\emptyset$, gọi $S$ là tập hợp gồm các song ánh từ $X$ đến $Y$. Khi đó $S$ cùng với phép lấy tích ánh xạ là một nhóm vì:
 + Tích các ánh xạ có tính kết hợp
+  Ánh xạ đồng nhất $1_{X}\in S$ thỏa mãn $f \circ1_{X}=1_{X} \circ f= f$ với mọi $f\in S$
+ Với mọi $f\in S$, $f$ có ánh xạ ngược $f^{-1}$ và $f \circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=1_{X}$.
  • Tập $\mathbb{N}$ các số tự nhiên không lập thành một nhóm đối với phép cộng.
Nhận xét:
  • Mỗi phần tử của một nhóm chỉ có một phần tử đối xứng tương ứng duy nhất.
  • Trong trường hợp phép toán của nhóm kí hiệu theo lối nhân '$ . $' thì phần tử đối xứng của $x\in X$ kí hiệu là $x^{-1}$ và gọi là phần tử nghịch đảo của $x$, trường hợp phép toán kí hiệu theo lối cộng '$ + $' thì phần tử đối xứng của $x\in X$ kí hiệu là $-x$ và gọi là phần tử đối của $x$.
  • Trong một nhóm $X$ giả sử phép toán viết theo lối nhân, khi đó với mọi $a,b,c\in X$ đều tồn tại $x\in X$ để cho $ax=b$ $(xa=b)$. Ta thấy ngay $x=a'b$ $(ba')$ trong đó $a'$ là phần tử đối xứng của $a$. Người ta cũng nói trong một nhóm $X$, phương trình $ax=b$ $(xa=b)$ với $a,b\in X$ có nghiệm.
Định lý: Giả sử $X$ là một nhóm (với phép toán viết theo lối nhân). Khi đó với mọi $a,b,c\in X, ac=bc$ kéo theo $a=b$ và $ca=cb$ kéo theo $a=b$.
Định lý : Giả sử $X$ là một tập không rỗng được trang bị một phép nhân kết hợp, sao cho với mọi $a,b\in X$ các phương trình $ax=b$ và $ya=b$ đều có nghiệm $x,y$ trong $X$. Khi đó $X$ là một nhóm.
Chứng minh: Vì $X\not=\emptyset$ nên có $a\in X$. Gọi $x_{0}$ là một nghiệm của phương trình $ax=a$. Ta sẽ chứng minh rằng $bx_{0}=b$ với mọi $b\in X$ (tức là chứng minh $x_{0}$ là một đơn vị phải của $X$). Thật vậy, giả sử $y_{0}$ là một nghiệm của phương trình $ya=b$. Ta có
$$bx_{0}=(y_{0}a)x_{0}=y_{0}(ax_{0}) = y_{0}a=b$$
Tương tự, nếu $x_{1}$ là một nghiệm của phương trình $xa=a$ thì $x_1$ là đơn vị trái của $X$. Ta có
\begin{align}
x_{0}&=x_{1}x_{0}(\text{vì } x_{1} \text{ là một đơn vị trái})\notag\\
&=x_{1} (\text{vì }  x_{0} \text{ là một đơn vị phải}).\notag
\end{align}
cho nên, phần tử $x_0$ chính là phần tử đơn vị của $X$.
Với mọi $a\in X$, gọi $a',a''$ là các phần tử của $X$ sao cho $a'a=x_{0}, aa''=x_0$. Các phần tử này tồn tại theo giả thiết của định lý. Ta có
$$a'=a'x_0=a'(aa")=(a'a)a"=x_0a"=a".$$
Như vậy với mỗi $a\in X$ có $a'\in X$ sao cho $aa'=a'a=x_0$
Tóm lại, $X$ cùng với phép toán trên nó là một nhóm.
Định lý: Cho $X$ là một nhóm (phép toán viết theo lối nhân), khi đó với mọi $a,b\in X$ ta có
$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.$$
Nửa nhóm, vị nhóm và nhóm Reviewed by Tân Phúc on 12:56:00 Rating: 5 Một số định nghĩa  về nửa nhóm, vị nhóm và nhóm: Nửa nhóm:   Một nửa nhóm là một cặp $(X, T)$ trong đó $X$ là một tập không rỗng và $T$ là m...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.