728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Phép toán đại số và những tính chất thường gặp

Định nghĩa phép toán đại số:
Cho $X$ là một tập khác rỗng. Một phép toán đại số trong tập $X$(còn gọi là phép toán hai ngôi) được định nghĩa là một ánh xạ $T$ đi từ $X \times X$ đến $X$:
$$T \quad : \quad X \times X \quad \longrightarrow \quad X$$
Nói cách khác, thực hiện một phép toán hai ngôi đối với hai phần tử $x\in X, y\in X$ là đặt mỗi cặp $(x,  y)$ tương ứng với một phần tử duy nhất cũng của tập $X$. Một phép toán hai ngôi  trong tập $X$ được gọi tắt là phép toán trong $X$.
- Ảnh của $(x, y)$ qua ánh xạ $T$(tức là qua phép toán $T$) gọi là cái hợp thành của $x$ và $y$. Cái hợp thành của $x$ và $y$ thường được kí hiệu  là $xTy$ thay cho $T(x, y).$
- Mỗi phép toán đều có kí hiệu xác định, thông thường ta hay dùng các kí hiệu sau:
a/ Kí hiệu $+$(không nhất thiết là phép cộng thông thường trong các tập hợp số); lúc đó cái hợp thành của $x$ và $y$, kí hiệu là $x+y$, gọi là tổng của $x$ và $y$.
b/ Kí hiệu $.$(không nhất thiết là phép nhân thông thường trong các tập hợp số); lúc đó cái hợp thành của $x$ và $y$, kí hiệu là $x.y$, đọc là  $x$ nhân với $y$ hay có thể đọc là tích của $x$ và $y$. Để đơn giản cách viết người ta thường viết tích của $x$ và $y$ bằng $xy$(bỏ dấu .).
Người ta còn dùng một số kí hiệu khác như $x\circ y, x\ast y,x\perp y, x\cup y, x\cap y...$ để chỉ cái hợp thành của $x$ và $y$.
Ví dụ:
1/ Trong tập hợp ${\mathbb{N}}$ các số tự nhiên, phép cộng và phép nhân (thông thường) hai số tự nhiên là những phép toán hai ngôi; cái hợp thành của $x, y \in {\mathbb{N}}$ bởi các phép toán đó kí hiệu theo thứ tự bằng $x+y, xy$.
2/ Phép mũ hoá $x^y$ không phải là phép toán hai ngôi trong ${\mathbb{N}}$ vì $0^0$ là không xác định, nhưng nếu ta lấy ${{\mathbb{N}}}^{*}={\mathbb{N}}- \{0\}$ thì phép mũ hoá là một phép toán hai ngôi trong ${{\mathbb{N}}}^{*}$.
3/ Phép trừ không phải là phép toán trong $\mathbb{N}$, vì tương ứng $(a; b)\mapsto a-b$ không xác định một ánh xạ từ ${\mathbb{N}} \times {\mathbb{N}}$ đến ${\mathbb{N}}$, chẳng hạn $(1, 2)$ tương ứng với $-1\notin {\mathbb{N}}$. Tuy nhiên phép trừ lại là phép toán trong ${\mathbb{Z}}$.
Cũng như vậy, phép chia cho một số khác không không phải là một phép toán trong ${\mathbb{N}}$, trong ${\mathbb{N}}$, nhưng lại là phép toán trong ${\mathbb{R}}$.
4/ Trong tập hợp ${{\mathbb{R}}}_{+}$ các số thực không âm, tương ứng $\forall a,b\in{{\mathbb{N}}}_{+}: (a, b)\mapsto \sqrt{ab}$ xác định một phép toán. Để dễ dàng chỉ ra điều này, ta gọi tương ứng trên là $f$ và ta cần đi chứng tỏ rằng $f$ là một ánh xạ đi từ ${{\mathbb{R}}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}$ đến ${\mathbb{R}}_{+}$.
Với $(a; b)\in {\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}$, $(a'; b')\in {\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}$, giả sử $(a, b)= (a', b')$. Khi đó $a=a', b=b'$ nên $f\big((a,b)\big)=\sqrt{ab}=\sqrt{a'b'}= f\big((a',b')\big)$, do vậy $f$ là một ánh xạ đi từ ${\mathbb{R}}_{+}\times {\mathbb{R}}_{+}$ đến ${\mathbb{R}}_{+}$. Vậy tương ứng $f$ xác định một phép toán trong ${\mathbb{R}}_{+}$.
5/ Cho tập $X\not= \emptyset$, gọi Hom$(X,X)$ là tập các ánh xạ từ $X$ lên chính nó. Khi đó phép lấy tích hai ánh xạ là một phép toán trong Hom$(X,X)$:
 \begin{align}
\text{Hom}(X, X&) \times \text{Hom}(X, X) \longrightarrow  \text{Hom}(X, X)\notag\\
&(f, g)\quad \quad \longmapsto \quad\quad g\circ f\notag
\end{align}
Những tính chất thường gặp của một phép toán:
Cho $X$ là một tập hợp trong đó xác định phép toán $T$. Phép toán $T$ có thể thoả mãn các tính chất sau đây:
Tính chất kết hợp:  Phép toán $T$ gọi là có tính chất kết hợp nếu và chỉ nếu
$$(xTy)Tz=xT(yTz)$$ với mọi $x,y,z\in X$.}
Ví dụ:
Các phép toán nêu trong ví dụ 1 và ví dụ 5 có tính chất kết hợp, phép mũ hoá nêu ở ví dụ 2 không có tính chất kết hợp. Chẳng hạn, đối với 3 phần tử $2, 3, 4$ ta có
$$(2T3)T4={(2^{3})}^4=2^{12}\quad \text{và}\quad 2T(3T4)=2^{3^4}=2^{81}$$
do đó phép toán mũ hoá không có tính chất kết hợp.

Tính chất giao hoán: Phép toán $T$ gọi là có tính chất giao hoán nếu và chỉ nếu $xTy = yTx$ với mọi $x, y \in X$.
Ví dụ:
1/ Các phép toán cộng, nhân (thông thường) trên các tập hợp số mà nó xác định có tính chất giao hoán, nhưng phép trừ, phép chia không có tính chất giao hoán.
2/ Cho $\mathcal{P}(X)$ là tập hợp các tập con của một tập hợp $X$. Phép lấy hợp và giao hai tập hợp trong tập $\mathcal{P}(X)$ có tính chất giao hoán.
3/ Trong ${\mathbb{N}}^{*}$, phép lấy UCLN và BCNN là các phép toán có tính chất giao hoán, nhưng phép toán $(a, b)\mapsto a^b$ không có tính chất giao hoán vì $a^{b}\not=b^{a}$.
4/ Phép lấy tích ánh xạ trong Hom$(X,X)$ không có tính chất giao hoán vì nói chung với $f, g \in$ Hom$(X,X):f\circ g\not= g\circ f$.
Tính phân phối của một phép toán đối với một phép toán khác: Giả sử trong tập $X$ ngoài phép toán $T$ còn có phép toán $\ast$ nữa. Lúc đó, phép toán $T$ gọi là phân phối trái đối với phép toán $\ast$ nếu và chỉ nếu:
$$xT(y\ast z) = (xTy)\ast (xTz)$$
với mọi $x,y,z \in X$.
Phép toán $T$ gọi là phân phối phải đối với phép toán $\ast$ nếu và chỉ nếu:
$$(y\ast z)Tx = (yTx)\ast (zTx)$$
với mọi $x,y,z \in X$.
Phép toán $T$ gọi là phân phối đối với phép toán $\ast$ nếu và chỉ nếu nó vừa phân phối trái, vừa phân phối phải đối với phép toán $\ast$.
Ví dụ:
1/ Trong các tập hợp số phép nhân là phân phối đối với phép cộng vì ta có:
$$a.(b+c)=a.b+a.c$$
$$(b+c).a=b.a+c.a$$
với mọi $a,b,c\in \mathbb{N}$.
2/ Trong $\mathcal{P}(X)$ phép hợp là phân phối đối với phép giao và phép giao là phân phối đối với phép hợp vì:
$$A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$$
$$(B\cup C)\cap A = (B\cap A)\cup(C\cap A)$$

$$A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$$
$$(B\cap C)\cup A = (B\cup A)\cap(C\cup A)$$
với mọi tập con $A,B,C$ của $X$.\\
\indent 3/ Trong ${\mathbb{N}}^{*}$ phép nâng lên luỹ thừa là phân phối phải đối với phép nhân. Thật vậy với mọi $p,q,m\in \mathbb{N}$ ta có:
$$(p.q)^m=p^{m}.q^{m}$$
\indent Tuy nhiên phép nâng lên luỹ thừa không phân phối trái đối với phép nhân vì chẳng hạn, ta có $2^{1.2}=2^{2}=4$ trong khi $2^{1}.2^{2}=8$.
Những phần tử đặc biệt của một phép toán:
Cho $X$ là một tập không rỗng, trong đó xác định một phép toán $T$.
a/ Phần tử trung lập:
Định nghĩa: Cho $e$ là một phần tử của $X$, $e$ được gọi là phần tử trung lập trái đối với phép toán $T$ nếu và chỉ nếu $eTx=x$ với mọi $x\in X$.
-$e$ được gọi là phần tử trung lập phải đối với phép toán $T$ nếu và chỉ nếu $xTe=x$ với mọi $x\in X$.
- $e$ được gọi là phần tử trung lập đối với phép toán $T$ nếu và chỉ nếu $e$ vừa là phần tử trung lập trái vừa là phần tử trung lập phải đối với phép toán $T$ nghĩa là nếu và chỉ nếu $xTe=eTx=x$ với mọi $x\in X$
Ví dụ:
1/ Dễ thấy rằng trong tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$, số $0$ là phần tử trung lập đối với phép cộng, số $1$ là phần tử trung lập đối với phép nhân.
2/ Trong tập hợp $\mathcal{P}(X)$, $\emptyset$ là phần tử trung lập đối với phép hợp, $X$ là phần tử trung lập đối với phép giao.
3/ Trong tập hợp Hom$(X,X)$, ánh xạ đồng nhất $1_X$ là phần tử trung lập đối với phép lấy tích hai ánh xạ.
4/ Trong ${\mathbb{N}}^{*}$, 1 là phần tử trung lập phải của phép nâng lên luỹ thừa vì ta có: $mT1=m^1=m$ với mọi $m\in \mathbb{N}$. Tuy nhiên 1 không phải là phần tử trung lập trái, vì $1Tm=1^m=1\not=m$ với mọi $m\not=1$.
Thông thường đối với phép toán có kí hiệu theo lối cộng thì phần tử trung lập được gọi là phần tử không, còn đối với phép toán có kí hiệu theo lối nhân thì phần tử trung lập được gọi là phần tử đơn vị.
Định lý: Nếu phép toán $T$ trong tập hợp $X$ có một phần tử trung lập trái $e$ và một phần tử trung lập phải $e'$ thì $e=e'$.
Chứng minh: $e$ là phần tử trung lập trái nên $eTe'=e'$, $e'$ là phần tử trung lập phải nên $eTe'=e$. Từ đó suy ra $e=e'$.
Nhận xét: Phần tử trung lập của một phép toán (nếu có) là duy nhất .
Phần tử đối xứng:
Định nghĩa 1: Giả sử $e$ là phần tử trung lập đối với phép toán $T$ trong $X$ và $x\in X$. Khi đó
  • Phần tử $x'$ được gọi là đối xứng trái của $x$ nếu và chỉ nếu $x'Tx=e$.
  • Phần tử $x'$ được gọi là đối xứng phải của $x$ nếu và chỉ nếu $xTx'=e$.
  • Phần tử $x'$ được gọi là đối xứng của $x$ nếu và chỉ nếu nó vừa là đối xứng trái, vừa là đối xứng phải của $x$ nghĩa là nếu và chỉ nếu $xTx'=x'Tx=e$.
Nhận xét: Nếu $x'$ là phần tử đối xứng của $x$ thì $x$ củng là phần tử đối xứng của $x'$.
Ví dụ:
1/ Trong $\mathbb{R}$, số $0$ là phần tử trung lập đối với phép cộng, phần tử đối xứng của phần tử $x\in \mathbb{R}$ là $-x$.
Trong ${\mathbb{R}}^{*}$, số $1$ là phần tử trung lập đối với phép nhân, phần tử đối xứng của $x\in {\mathbb{R}}^{*}$ là $\frac{1}{x}$.
2/ Đối với phép lấy tích các ánh xạ trong Hom$(X,X)$, ánh xạ đồng nhất $1_X$ là phần tử trung lập, nếu $f$ là một song ánh thì phần tử đối xứng của nó chính là ánh xạ ngược $f^{-1}$ vì $$f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=1_X$$
Định nghĩa 2: Cho $x\in X$, nếu $x$ có phần tử đối xứng thì ta gọi $x$ là phần tử khả nghịch.
Định lý: Giả sử phép toán $T$ trong tập $X$ có tính kết hợp và có phần tử trung lập là $e$. Khi đó:- Nếu $x \in X$ có phần tử đối xứng trái là $x'$ và có phần tử đối xứng phải là $x''$ thì $x'=x''$. 
-Với mỗi  $x\in X$ thì có không quá một phần tử đối xứng. 
-Nếu $x,y$ khả nghịch và $x',y'$ lần lượt là phần tử đối xứng của $x,y$ thì $xTy$ củng khả nghịch và phần tử đối xứng của $xTy$ là $y'Tx'$.
    Chứng minh:
    1/ Ta có: $x' = x'Te=x'T(xTx'')=(x'Tx)Tx''=eTx''=x''$, do đó $x'=x''$.
    2/ Hiển nhiên theo định nghĩa.
    3/  Vì $T$ có tính chất kết hợp nên ta có:
    \begin{align}
    (xTy)T(y'Tx')&=xT\big(yT(y'Tx')\big)=xT\big((yTy')Tx'\big)\notag\\
    &=xT(eTx')=xTx'=e\notag
    \end{align}

    \begin{align}
    (y'Tx')T(xTy)&=y'T\big(x'T(xTy)\big)=y'T\big(x'Tx)Ty\big)\notag\\
    &=y'T(eTy)=y'Ty=e\notag
    \end{align}
    từ đó suy ra: xTy khả nghịch và phần tử đối xứng của xTy là y'Tx'.
    Phần tử chính quy (hay giản ước được):
    Định nghĩa: Phần tử $x\in X$ gọi là chính quy bên trái nếu và chỉ nếu từ đẳng thức $xTy=xTz$ suy ra được $y=z$ với mọi $y,z\in X$
    • Phần tử $x\in X$ gọi là chính quy bên phải nếu và chỉ nếu từ đẳng thức $yTx=zTx$ suy ra được $y=z$ với mọi $y,z\in X$
    • Phần tử $x\in X$ gọi là chính quy nếu và chỉ nếu x là chính quy trái và chính quy phải.
    Ví dụ:
    Trong $\mathbb{N}$, số 2 là giản ước được đối với phép cộng vì
    $$2+m=2+n\Longrightarrow m=n$$
    $$m+2=n+2\Longrightarrow m=n$$
    với mọi $m,n\in \mathbb{N}$.
    Tổng quát hơn, trong $\mathbb{R}$ mọi số đều là giản ước được đối với phép cộng và mọi số thực khác 0 đều là giản ước được đối với phép nhân.
    Phép toán đại số và những tính chất thường gặp Reviewed by Tân Phúc on 12:26:00 Rating: 5 Định nghĩa phép toán đại số: Cho $X$ là một tập khác rỗng. Một phép toán đại số trong tập $X$(còn gọi là phép toán hai ngôi) được định nghĩ...

    Không có nhận xét nào:

    Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.