728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Số tự nhiên và xây dựng số tự nhiên

Số tự nhiên:
Có thể nói số tự nhiên hình thành là một phần tất yếu của xã hội văn minh. Chúng ta hình dung một xã hội không có số tự nhiên: ở đó không có số nhà, không có tiền tệ, không có điện thoại ... Đó chỉ có thể là một xã hội nguyên thủy mà thôi.
Khái niệm số tự nhiên đã manh nha trong thời kỳ xã hội nguyên thủy khi con người đã biết so sánh số lượng giữa các đối tượng gần gủi như: đàn bò, thành viên trong bộ lạc.. vv, củng như dần nhận thức được khái niệm ít nhiều. Tuy nhiên cho đến tận bây giờ không một ai có thể nói được chính xác từ khi nào loài người biết đến các con số, chúng ta chỉ biết rằng là các con số đã được ra đời từ rất lâu dựa vào các văn bản cổ mà con người tìm được.
Từ trong sinh hoạt hằng ngày con người đã được đụng chạm thường xuyên đến các nhu cầu so sánh như: phân phối số cá bắt được cho mỗi người, phân phát số vũ khí cho các chiến binh ... vv và được tiếp xúc với các hiện tượng tự nhiên như: có một mặt trời vào ban ngày, ban đêm có một mặt trăng, mỗi người có hai con mắt ... vv, chính vì điều này đã làm cho con người cổ xưa đi dần tới khái niệm về số lượng, về số.
Các số đầu tiên được hình thành để đánh dấu, phân biệt các tập hợp mà con người hằng ngày được tiếp xúc và các tập hợp mà có thể thiết lập sự tương ứng 1 - 1 lên các tập hợp đó. Và như ta đã biết đó là việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên: một, hai,...
Dưới đây chúng ta sẽ trình bày khái niệm về số tự nhiên, mô phỏng theo sự hình thành của chúng trong lịch sử.
Định nghĩa số tự nhiên
Định nghĩa: Bản số của một tập hợp hữu hạn được gọi là một số tự nhiên.
Các số tự nhiên cũng lập thành một tập hợp. Tập hợp các số tự nhiên được kí hiệu là $\mathbb{N}$.
Như vậy, nếu $a$ là số tự nhiên ($a\in \mathbb{N}$) thì tồn tại một tập hợp hữu hạn $A$ sao cho $a = \text{Card}(A)$.
Ví dụ: 

  • Ta biết $\emptyset$ là một tập hữu hạn, do đó Card($\emptyset$) là một số tự nhiên. Ta kí hiệu Card($\emptyset)=0$ và gọi nó là số không.
  • Tập đơn tử $\big\{x\big\}$ là một  tập hữu hạn nên Card($\big\{x\big\}$) là một số tự nhiên. Ta kí hiệu Card($\big\{x\big\})=1$ và gọi nó là số một.  Rõ ràng $1\not=0$ vì tập $\emptyset$ không tương đương với tập $\big\{x\big\}$.
Quan hệ thứ tự trên tập hợp các số tự nhiên:
Định nghĩa và tính chất:
Ta thấy $U=\big\{m,n,p\big\}$ tương đương với một bộ phận thực sự của $X=\big\{1,2,3,4\big\}$ là $\big\{1,2,3\big\}$. Từ những ví dụ cụ thể này ta dễ dàng nhận ra một điều là tập $A$ tương đương với một bộ phận của tập $B$ khi và chỉ khi có một đơn ánh từ $A$ vào $B$.
Nếu $f$ là đơn ánh từ $A$ vào $B$ thì $A \sim f(A)\subset B$.
 Trong khi nghiên cứu về tập hợp nhà toán học Cantor đã phát biểu được định lý dưới đây, ta nêu lên không chứng minh.
Định lý Cantor:  Nếu $X$ và $Y$ là hai tập hợp bất kỳ thì:
 i/ Hoặc $X$ tương đương với một bộ phận của $Y$ hoặc $Y$ tương đương với một bộ phận của $X$.
ii/ Nếu $X$ tương đương với một bộ phận của $Y$ và $Y$ tương đương với một bộ phận của $X$ thì $X$ tương đương với $Y$
Sử dụng ngôn ngữ ánh xạ thì định lý trên còn được phát biểu dưới dạng tương đương sau đây:
Nếu $X$ và $Y$ là hai tập hợp bất kì thì:
  • Trong các ánh xạ từ $X$ đến $Y$ và từ $Y$ đến $X$ bao giờ cũng có một đơn ánh.
  • Nếu có một đơn ánh từ $X$ đến $Y$ và một đơn ánh từ $Y$ đến $X$ thì sẽ có một song ánh từ $X$ đến $Y$.
Dựa trên định lý Cantor, ta sẽ xây dựng quan hệ trên tập số tự nhiên $\mathbb{N}$.
Định nghĩa: Giả sử $x$ và $y$ là hai số tự nhiên và $X$; $Y$ là hai tập hợp hữu hạn sao cho $x=\text{Card}(X), y=\text{Card}(Y)$.
Ta nói $x$ nhỏ hơn hay bằng $y$, kí hiệu $x\leq y$, khi và chỉ khi $X$ tương đương với một bộ phận của $Y$
Nếu $x\leq y$ và $x\not=y$ thì  ta viết $x<y$ và đọc là $x$ thực sự nhỏ hơn $y$ (hay $x$ nhỏ hơn $y$.
Khi $x\leq y$ ta còn viết $y\geq x$ và đọc là $y$ lớn hơn hoặc bằng $x$. Khi $x<y$ ta còn viết $y>x$ và đọc là $y$ lớn hơn $x$
Ví dụ: $0<1$ và hơn thế nữa $0\leq x$ với mọi $x\in \mathbb{N}$ vì $\emptyset$ là tập con của mọi bộ phận của $\mathbb{N}$.
Nhận xét:
1/ Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc lựa chọn $X,Y$ nghĩa là: Nếu $X_{1}, Y_{1}$ là những tập hợp mà $x=\text{Card}(X_{1}), y=\text{Card}(Y_{1})$ thì từ chỗ $X$ tương đương với  một bộ phận của $Y$ ta cũng có $X_{1}$ tương đương với một bộ phận của $Y_{1}$.
Thật vậy, ta có:
 $X\sim X_{1}$ nên có song ánh $g: X_{1}\longrightarrow X$, $Y\sim Y_{1}$ nên có song ánh $h: Y\longrightarrow Y_{1}$ và $X$  tương đương với một bộ phận của $Y$ nên có đơn ánh $f: X\longrightarrow Y$. Ta thấy rằng ánh xạ $hfg: X_{1}\longrightarrow Y_{1}$ là một đơn ánh; đơn ánh này chứng tỏ $X_{1}$ tương đương với một bộ phận của $Y_{1}$.
2/ Khi $X$ tương đương với một bộ phận $Y'$ của $Y$ ta củng có Card($Y') =x$, do đó theo nhận xét 1/ ta có thể coi $x\leq y$ khi và chỉ khi $X\subset Y$. Vì vậy định nghĩa trên có thể phát biểu như sau:
Cho $x,y\in \mathbb{N}; Y$ là một tập hợp mà  Card($Y) =y$. Ta nói $x\leq y$ khi và chỉ khi có $X\subset Y$ sao cho Card($X) =x$.
Ta sẽ chứng minh rằng quan hệ $\leq$ vừa xây dựng trong $\mathbb{N}$ là một quan hệ thứ tự toàn phần trong $\mathbb{N}$. Đó là nội dung của định lý sau:
Định lý: Quan hệ $\leq$ vừa định nghĩa  là một quan hệ thứ tự toàn phần trong $\mathbb{N}$.
Trước hết ta phải chứng minh, quan hệ "$\leq$" là một quan hệ thứ tự trong $\mathbb{N}$; nghĩa là  ta phải chứng minh quan hệ này thỏa mãn 3 tính chất: phản xạ, phản xứng và bắc cầu. Thật vậy:
  • Tính phản xạ: Giả sử $x=\text{Card}(X)$, vì với mọi tập $X$ ta luôn có $X\subset X$ nên $x\leq x$.
  • Tính phản xứng: Giả sử  $x=\text{Card}(X)$ và $y=\text{Card}(Y)$. Nếu ta có đồng thời $x\leq y$ và $y\leq x$ thì điều này có nghĩa $X$ tương đương với một bộ phận của $Y$ và $Y$ tương đương với một bộ phận của $X$. Theo định lý Cantor thì $X \sim Y$ và do đó $x=y$.
  • Tính bắc cầu: Giả sử $x=\text{Card}(X)$, $y=\text{Card}(Y)$, $z=\text{Card}(Z)$ mà $x\leq y,y\leq z$.
 Ta có $x\leq y$ tức là $X$ tương đương với một bộ phận của $Y$ hay có một đơn ánh $f: X\longrightarrow Y$; $y\leq z$ tức là có một đơn ánh $g: Y\longrightarrow Z$.
Ánh xạ tích $gf: Y\longrightarrow Z$ cũng là một đơn ánh, đơn ánh này chứng tỏ $X$ tương đương với một bộ phận của $Z$ hay $x\leq z$.
Vậy quan hệ "$\leq$" là một quan hệ thứ tự trong $\mathbb{N}$. Bây giờ ta chứng minh quan hệ thứ tự đó là quan hệ quan hệ thứ tự toàn phần trong $\mathbb{N}$.
Giả sử $x,y \in \mathbb{N}$ và $x=\text{Card}(X)$, $y=\text{Card}(Y)$, Theo định lý Cantor thì hoặc $X$ tương đương với một bộ phận của $Y$ hoặc ngược lại $Y$ tương đương với một bộ phận của $X$ tức là ta có hoặc $x\leq y$ hoặc $y\leq x$.
Như vậy mọi cặp số tự nhiên đều so sánh được theo quan hệ thứ tự $\leq$ nói cách khác quan hệ này là một quan hệ thứ tự toàn phần trong $\mathbb{N}$. Định lý đã được chứng minh xong.
Số liền trước, số liền sau và tính rời rạc:
Định nghĩa: Cho $x$ và $y$ là hai số tự nhiên với $\leq$. Gọi $Y$ là tập hữu hạn mà Card$(Y)=y$. Như đã nhận xét ở trên, vì $\leq$ nên có tập $X\subset Y$  sao cho Card($X)=x$.
Ta gọi $y$ là số liền sau của số $x$ nếu và chỉ nếu Card$(Y- X)=1$ hay nói cách khác nếu và chỉ nếu tập $Y- X$ là tập đơn tử.
Nếu $y$ là số liền sau của $x$ thì ta củng nói $x$ là số liền trước của $y$. Số liền sau của $x$ được kí hiệu là $x'$.
Khi $x$ là số liền sau của $y$ hoặc $y$ là số liền sau của $x$ thì ta nói $x,y$ là hai số liền nhau.
Nhận xét:
  • $x < x', \forall x \in \mathbb{N}$.
  • Số một là số liền sau số không.
Định lý:Mọi số tự nhiên $x$ đều có một số liền sau.
 Thật vậy, giả sử  $x=\text{Card}(X)$, khi đó tập $\{X\}$ là tập đơn tử và  rõ ràng  $\{X\}$ không phải là phần tử của $X$. Đặt $Y=X\cup \{X\}$, khi đó $Y$ là tập hữu hạn và ta có: Card$(Y -X)=$ Card$\{X\}=1$. Vậy số tự nhiên $y=\text{Card}(Y)$ là số liền sau của $x$.
Người ta còn chứng minh được tính duy nhất của số liền sau: Mỗi số tự nhiên $x$ đều có một số liền sau duy nhất.
Định lý: Số $0$ không phải là số liền sau của bất kỳ số tự nhiên nào.
Ta thấy vì $0=\text{Card } \emptyset$ và $\emptyset$ không có một bộ phận thực sự nào, do đó số $0$ không có số liền trước.
Định lý: Mọi số tự nhiên $x\not=0$ đều là số liền sau của một số tự nhiên.
Thật vậy, giả sử $x$ là số tự nhiên khác không và Card$\{X\}=x$. Thế thì $X\not=\emptyset$ và do đó tồn tại $a\in X$. Khi đó $Y=X- \{a\}\subset X$ và Card$(X- Y)=$ Card$\{a\} =1$. Vậy $x$ là số tự nhiên liền sau của $y=\text{Card}(Y)$.
Người ta còn chứng minh được tính duy nhất của số liền trước: Mỗi số tự nhiên $x\not=0$ đều là số liền sau của một số tự nhiên duy nhất.
4/ Giữa hai số tự nhiên liền nhau $x$ và $x'$ không có số tự nhiên nào khác.
Thật vậy, giả sử có số tự nhiên $y$ sao cho $x<y<x'$, khi đó tồn tại các tập hữu hạn $X,Y,X'$ sao cho $x=\text{Card}(X)$, $y=\text{Card}(Y)$, $x'=\text{Card}(X')$ trong đó $X\subset Y\subset X'$.
Theo định nghĩa số liền nhau thì ta có Card$(X' -X)=1$ hay  X'-X là tập đơn tử, nhưng do $Y-X\subset X'-X$ nên ta phải có hoặc $Y-X=\emptyset$ hoặc $Y-X=X'-X$, điều này chứng tỏ hoặc $Y=X$ hoặc $Y=X'$.
Điều này mâu thuẫn với điều giả sử. Vậy không thể có số tự nhiên $y$ ở giữa hai số tự nhiên liền nhau $x$ và $x'$.
Tính chất 4 còn có thể phát biểu dưới dạng khác: Với $x,y\in \mathbb{N}$, nếu $x<y$ thì $x'\leq y$.
Tập $\mathbb{N}$ với quan hệ thứ tự có tính chất trên được gọi là một tập sắp thứ tự rời rạc.
Với khái niệm số liền sau và các tính chất đã trình bày trên, ta có thể hình dung được toàn bộ tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N}$
Trước hết $x=\text{Card }\emptyset$ là một số tự nhiên và số $0$ không đứng sau bất kì số tự nhiên nào. Số $1=\text{Card}\{x\}$ là số liền sau duy nhất của số $0$ và giữa số $0$ và số $1$ không có số tự nhiên nào khác. Kí hiệu $2=1', 3=2'  ...$ thì tập $\mathbb{N}$ được viết thành một dãy như sau: $0,1,2,3,...$
Biểu diễn các số tự nhiên trên nửa đường thẳng có định hướng ta được một tia số
dinh nghia so tu nhien, xay dung so tu nhien

Tính vô hạn của tập hợp số tự nhiên:
 Có bao nhiêu số tự nhiên? Ta thấy cứ mỗi số tự nhiên $a$ lại có một số liền sau nó. Số liền sau này lại có một số liền sau nó nữa, ... và như vậy quá trình "đếm" các số tự nhiên sẽ kéo dài tới vô tận. Đó là sự hình dung trực giác về tính vô hạn của dãy số tự nhiên.
Định lý: Tập hợp các số tự nhiên là một tập vô hạn.
Đặt ${\mathbb{N}}^{*}={\mathbb{N}} - \{0\}$, rõ ràng ${\mathbb{N}}^{*}$ là một bộ phận thực sự của $\mathbb{N}$. Xét tương ứng  $$f:\quad \mathbb{N} \longrightarrow {\mathbb{N}}^{*}$$
$$\qquad\qquad \quad n\longmapsto f(n)=n'$$
\indent Dễ thấy $f$ là một ánh xạ vì mỗi số tự nhiên có một số liền sau duy nhất $n'$ và $n'\not=0$. Mặt khác, theo tính chất 3 mỗi số tự nhiên khác không đều là số liền sau của một số tự nhiên duy nhất, do đó $f$ vừa là một đơn ánh, vừa là một toàn ánh. Vậy $f$ là một song ánh     và ta có $\mathbb{N}\sim {\mathbb{N}}^{*}$  nghĩa là $\mathbb{N}$ là tập vô hạn.
Một số tính chất cơ bản khác của tập hợp số tự nhiên:
Định lý.(Tiên đề quy nạp): Nếu $M$ là một bộ phận của tập hợp số tự nhiên thỏa mãn hai điều kiện:
  • $0\in M$
  • Nếu $x\in M$ thì $x'\in M$
thì $M\equiv\mathbb{N}$.
Định lý: Mọi bộ phận khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất.
Giả sử $M\subset N, M\not=\emptyset$. Ta đi chứng minh rằng $M$ có số nhỏ nhất, nghĩa là có $m\in M$ mà $m\leq x$ với mọi $x\in M $.
Ta xét $A=\{n\in\mathbb{N} \mid n\leq x, \forall x\in M\}$
Rõ ràng $0\in A$ và $A\not=\mathbb{N}$ vì dễ thấy nếu $x\in M$ thì $x' \notin A$. Do $A\not=\mathbb{N}$ nên có số $m\in A$ mà $m'\notin A$. Ta sẽ chứng minh $m$ cũng thuộc $M$, thật vậy nếu $m\notin M$ thì do $m\leq x,\forall x\in M$ nên $m<x,\forall x\in M$, điều này dẫn đến $m'\leq x,\forall x\in M$. Do đó $m'\in A$, mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy $m \in M$, nghĩa là $m$ là số nhỏ nhất của tập $M$.

Số tự nhiên và xây dựng số tự nhiên Reviewed by Tân Phúc on 00:41:00 Rating: 5 Số tự nhiên: Có thể nói số tự nhiên hình thành là một phần tất yếu của xã hội văn minh. Chúng ta hình dung một xã hội không có số tự nhiên...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.