728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp


Định nghĩa tập hợp tương đương: Cho $X$ và $Y$ là hai tập hợp. Ta nói tập hợp $X$ tương đương với tập hợp $Y$, viết là $X\sim Y$ nếu có một song ánh $f$ từ $X$ lên $Y$.
Hai tập hợp tương đương còn gọi là hai tập hợp có cùng lực lượng. Như vậy
$$X\sim Y \Leftrightarrow \text{ tồn tại song ánh } f: X\longrightarrow Y$$
Ví dụ:
1. Cho $X=\big\{1,2,3,4\big\}$ và  $Y=\big\{a,b,c,d\big\}$, $U=\big\{m,n,p\big\}$. Ta thấy $X$ và $Y$ có cùng lực lượng vì có thể thiết lập được một song ánh từ $X$ lên $Y$, chẳng hạn song ánh $f$ như sau:
\begin{align}
f : \quad& X\longrightarrow Y\notag \\
&1\longmapsto a\notag\\
&2\longmapsto b\notag\\
&3\longmapsto c\notag\\
&4\longmapsto d\notag
\end{align}
Tuy vậy $U$ và $X$ không cùng lực lượng vì không có song ánh từ $U$ lên $X$ được. $U$ có cùng lực lượng với tập con $\big\{1,2,3\big\}$ của $X$ vì chẳng hạn ta có ánh xạ
 \begin{align}
g: \quad& X\longrightarrow Y\notag \\
&1\longmapsto m\notag\\
&2\longmapsto n\notag\\
&3\longmapsto p\notag
\end{align}
2/ Giả sử $AB$ và $BC$  là hai đoạn thẳng có độ dài tuỳ ý có chung đầu mút $B$ ($A,B,C$ không thẳng hàng) (hình bên). Kí hiệu [AB], [CB] tương ứng là tập hợp các điểm của hai đoạn thẳng này. Ta chứng minh
 $$[AB]\sim [CB]$$
tap hop tuong duong, ban so cua tap hop
Thật vậy, qua mỗi điểm $X$ nằm trên $AB$, $X\not\equiv A,B$ ta kẻ đường thẳng song song với $AC$, đường thẳng này cắt $CB$ tại $X'$. Khi đó tương ứng
\begin{align}
f :\quad [A&B] \longrightarrow [CB]\notag \\
& A\longmapsto C\notag\\
& B\longmapsto B\notag\\
&X\longmapsto X' \text{ khi } X\not\equiv A\notag
\end{align}
là một song ánh(bạn đọc tự chứng minh).  Cho nên tập điểm trên đoạn $AB$ có cùng lực lượng với tập điểm trên đoạn $BC$.
Bây giờ nếu ta cho $D$ là một điểm trên $BC$, thì theo chứng minh trên ta có tập điểm trên đoạn $BD$ có cùng lực lượng với tập điểm trên đoạn $BC$.
Tính chất:
Quan hệ cùng lực lượng giữa các tập hợp có các tính chất sau:
  •  Tính chất phản xạ: Với mọi tập hợp $A$ ta luôn có $A\sim A$. Thật vậy, với mọi tập $A$ luôn  có một song ánh từ $A$ lên $A$ chẳng hạn đó là ánh xạ đồng nhất.
  • Tính chất đối xứng: Với mọi tập hợp $A$ và $B$, nếu $A\sim B$ thì $B\sim A$. Thật vậy, nếu $A\sim B$ thì tồn tại một song ánh  $f :A \longrightarrow B$ khi đó ánh xạ ngược $f^{-1} : A \longrightarrow B$ cũng là một song ánh, vậy $B\sim A$.
  • Tính chất bắc cầu: Với mọi tập hợp $A,B,C$ nếu $A\sim B$ và $B\sim C$ thì $A\sim C$.
Thật vậy, nếu $A\sim B$ và $B\sim C$ thì tồn tại các song ánh $f : A \longrightarrow B$ và $g: B \longrightarrow C$, khi đó ánh xạ tích $g\circ f : A \longrightarrow C$ là một song ánh. Vậy $A\sim C$.
Như vậy quan hệ cùng lực lượng là một quan hệ tương đương, do đó ta có thể phân lớp các tập hợp: Các tập hợp có cùng lực lượng thuộc cùng một lớp.
 Vì thế ta có thể dùng mỗi lớp để xác định thuộc tính đặc trưng về lực lượng của một tập hợp.
Định nghĩa bản số của tập hợp: Thuộc tính đặc trưng xác định mỗi lớp gọi là bản số của tập hợp.
Các tập hợp có cùng bản số khi và chỉ khi chúng cùng lực lượng(bản số còn được gọi là lực lượng). Bản số của tập hợp $A$ kí hiệu là Card($A$). Ta có thể viết
$$\text{Card}(A)=\text{Card}(B)\Longleftrightarrow A\sim B$$
Như vậy ta có thể hiểu bản số như là một tính chất đặc trưng phản ánh mặt "số lượng" của tập hợp( đối với các tập hợp hữu hạn, khái niệm bản số chính là khái niệm số lượng thông thường), hai tập hợp tương đương thì có cùng bản số và hai tập hợp có cùng bản số thì tương đương.
Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn:
Trong các phần trên chúng ta đã biết rằng có những tập hợp tương đương với một tập con thực sự của nó. Đó là trường hợp của tập các điểm trên một đoạn thẳng, tập hợp số tự nhiên ... Các tập như thế ta gọi là tập vô hạn.
Định nghĩa tập hợp vô hạn, tập hợp hữu hạn: Một tập được gọi là vô hạn nếu nó tương đương (có cùng lực lượng) với một bộ phận thực sự của nó.
Tập hợp không phải là vô hạn thì gọi là tập hữu hạn. Nói cách khác, tập hợp hữu hạn là tập hợp không tương đương với bất kì một bộ phận thực sự nào của nó.
Ví dụ:
  1. Tập $\emptyset$ là một tập hữu hạn, vì tập $\emptyset$ không có một bộ phận thực sự nào.
  2.  Tập đơn tử $\big\{x\big\}$ là một  tập hữu hạn vì nó chỉ có một bộ phận thực sự duy nhất là  $\emptyset$, nhưng dễ thấy tập hợp $\big\{x\big\}$ không tương đương với tập $\emptyset$.
  3. Tập các điểm trên một đoạn thẳng là tập vô hạn.
Tính chất:
Để thuận lợi cho việc xây dựng các số tự nhiên sau này ta chấp nhận mà không chứng minh một số tính chất sau:
  • Tính chất 1: Tập hợp tương đương với một tập hữu hạn là hữu hạn.
  • Tính chất 2: Tập hợp con của một tập hữu hạn là hữu hạn.
  • Tính chất 3: Hợp của hai tập hữu hạn là hữu hạn.
  • Tính chất 4: Tích Đề các của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn.
Tập hợp tương đương và bản số của tập hợp Reviewed by Tân Phúc on 00:08:00 Rating: 5 Định nghĩa tập hợp tương đương: Cho $X$ và $Y$ là hai tập hợp. Ta nói tập hợp $X$ tương đương với tập hợp $Y$, viết là $X\sim Y$ nếu có một...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.