728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Tìm giá trị lớn nhất của $P =\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}}-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$ với $a, b, c$ dương ở Đề Toán khối B 2013

VietMaths xin giới thiệu một cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P =\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}}-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$ với $a, b, c$ dương, đây là câu khó ở Đề Toán khối B 2013.
Một cách giải  của học mãi các bạn xem ở đây.

Cách này do BQT VietMaths giới thiệu.
Vì $a, b,c$ dương nên ta có
 $$(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}= \frac{2}{3}\sqrt{(a+2c)(b+2c)\frac{3(a+b)}{2}\frac{3(a+b)}{2}}=$$
$$= \frac{2}{3} ({^4\sqrt{(a+2c)(b+2c)\frac{3(a+b)}{2}\frac{3(a+b)}{2}})}^2 \leq \frac{2}{3} \big(\frac{(a+2c)+(b+2c)+\frac{3(a+b)}{2}+\frac{3(a+b)}{2}}{4}\big)^2$$
$$= \frac{2}{3}(a+b+c)^2$$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.
Ta có
$$\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}}\leq \frac{4}{\sqrt{ \frac{(a+b+c+2)^2}{4}}}=\frac{8}{a+b+c+2}$$.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=2$.
Từ đó ta có
$$P\leq\frac{8}{a+b+c+2} - \frac{27}{2(a+b+c)^2}$$.
Xét $f(x)=\frac{8}{x+2} - \frac{27}{2x^2}, x>0$. Ta có
$$f'(x)=\frac{(6-x)(8x^2+21x+18)}{x^3(x+2)^2}, x>0$$
do đó bằng cách lập bảng biến thiên ta dễ dàng kết luận được
$$f(x)\leq f(6)=\frac{5}{8}$$
Do đó
$$P \leq \frac{5}{8}$$
và ta có $P = \frac{5}{8}$
khi và chỉ khi  $a=b=c=2$.
Vậy giá trị lớn nhất của P là $\frac{5}{8}$, đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=2$.



Tìm giá trị lớn nhất của $P =\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}}-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$ với $a, b, c$ dương ở Đề Toán khối B 2013 Reviewed by Tân Phúc on 15:18:00 Rating: 5 VietMaths xin giới thiệu một cách tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P =\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}}-\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)}}$ ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.