728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Kỹ thuật tách số hạng trong bài toán Bất đẳng thức và cực trị

Mời các bạn tham khảo bài viết Kỹ thuật tách số hạng trong bài toán Bất đẳng thức và cực trị. Các bạn ôn thi học sinh giỏi toán có thể tải về chuyên đề về bất đẳng thức này để xem. 
Trong các bài toán về bất đẳng thức cũng như bài toán cực trị đôi lúc để giải quyết nhanh ta phải có khả năng phán đoán tốt, vận dụng linh hoạt các kiến thức cơ bản cũng như kỹ năng vẫn dụng kỹ thuật tách số hạng.
Dĩ nhiên, bạn nên xem trước: Chuyên đề bất đẳng thức thứ hai, mới, hoàn mỹ nhất

ky thuat tach so hang trong bai toan bat dang thuc cuc tri
Chẳng hạn trong kỳ thi Olympic toán tại Balan năm 1997 có bài bđt hay như sau: Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a, b, c\geq \frac{-3}{4}$ và $a+b+c=1$. Chứng minh rằng
$$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}\leq \frac{9}{10}$$
Ta thử dùng kỹ thuật tách, ghép các số hạng để cm cái bất đẳng thức nhìn rất đối xứng này xem sao, tất nhiên là theo ý tưởng của tài liệu bđt mà VietMaths giới thiệu rồi.
Ta có, bđt đã cho tương đương với
$$\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}- \frac{36}{50}-3\frac{3}{50}\leq 0$$
$$\Leftrightarrow \frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}+\frac{c}{1+c^2}- \frac{36}{50}(a+b+c)-3\frac{3}{50}\leq 0$$ 

$$\Leftrightarrow (\frac{a}{1+a^2}-\frac{36}{50}a-\frac{3}{50})+(\frac{b}{1+b^2}-\frac{36}{50}b-\frac{3}{50})+(\frac{c}{1+c^2}-\frac{36}{50}c-\frac{3}{50})\leq 0 (1)$$
vì $a+b+c=1$.
Ta có
 $$\frac{a}{1+a^2}-\frac{36}{50}a-\frac{3}{50}\leq 0\Leftrightarrow {{(3a-1)}^2}(4a+3)\geq 0 (2)$$
Rõ ràng (2) đúng vì theo giả thiết $a\geq \frac{-3}{4}$. Vậy
$$\frac{a}{1+a^2}-\frac{36}{50}a-\frac{3}{50}\leq 0$$
Tương tự
$$\frac{b}{1+b^2}-\frac{36}{50}b-\frac{3}{50}\leq 0$$

$$\frac{c}{1+c^2}-\frac{36}{50}c-\frac{3}{50}\leq 0$$
Cho nên (1) đúng, suy ra đpcm. Ta dễ dàng thấy được dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$.
Có thể quý bạn sẽ thắc mắc, cảm thấy khó hiểu là tại sao, chúng ta lại tách và nhóm các số hạng như ở (1), dễ hiểu thôi, để biết điều này thì hãy nhanh tay đưa tài liệu về bđt về mà tham khảo.
 
Bài viết này hy vọng sẽ giúp ích cho các bạn hsg toán cũng như các thầy cô đảm trách nhiệm vụ dạy các lớp chuyên.
Download

Tìm hiểu hơn: Bất đẳng thức cho THCS trường Đặng Chánh Kỷ huyện Nam Đàn
Kỹ thuật tách số hạng trong bài toán Bất đẳng thức và cực trị Reviewed by Tân Phúc on 00:29:00 Rating: 5 Mời các bạn tham khảo bài viết Kỹ thuật tách số hạng trong bài toán Bất đẳng thức và cực trị. Các bạn ôn thi học sinh giỏi toán có thể tải...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.