728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Tài liệu về Dãy số: Những kiến thức cơ bản - nâng cao

Tài liệu về Dãy số: Những kiến thức cơ bản - nâng cao là một trong những tài liệu đầy đủ nhất về dãy số, mà các bạn ôn thi hsg toán và các thầy cô dạy chuyên phần dãy số nên tham khảo.
Nội dung của chuyên đề dãy số cho hsg này:
1. Dãy số và các bài toán về dãy số: định nghĩa và các định lý cơ bản, một số phương pháp giải bài toán dãy số, một số phương pháp xây dựng hệ thống bài tập, lý thuyết dãy số dưới con mắt toán cao cấp.
2. Phương trình sai phân: Sai phân, phương trình sai phân tuyến tính.
3. Xác định số hạng tổng quát của một dãy số.
4. Dãy số sinh bởi hàm số.
Còn nhiều nhiều nữa, các bạn tải về mà xem cho thỏa thích.
Nếu ai muốn tìm hiểu thêm các tài liệu về dãy số thì có thể xem bộ sách về dãy số hay của VietMaths mà chúng tôi đã có lần giới thiệu

Tài liệu về Dãy số cơ bản nâng cao, tai lieu ve day so co ban va nang cao
Tác giả của bài viết là GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, Hà Nội.
Đọc xong tài liệu về dãy số của thầy Nguyễn Văn Mậu, mình đã đạt được cái gì?
Câu trả lời: Mình đã giải gọn câu dãy số sau: Cho hai dãy số $\left\{x_n\right\}_n, \left\{y_n\right\}_n$ xác định bởi công thức
$x_1=y_1, x_{n+1}=x_n+\sqrt{1+x^2_n}, y_{n+1}=\dfrac{y_n}{1+\sqrt{1+y^2_n}}, n =1,2,3,... $
Chứng minh rằng $x_ny_n\in (2;3)$ với $n=2,3,4,...$ và $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=0$.
Các bạn xem có thú vị không nhé. Mình giải như sau:
Ta có $x_1=\sqrt{3}=\cot \frac{\pi}{2.3}$, và
\begin{align}
 x_2&=\cot \dfrac{\pi}{2.3}+\sqrt{1+{\cot}^2 \dfrac{\pi}{2.3}}=\cot \dfrac{\pi}{2.3}+\dfrac{1}{\sin \dfrac{\pi}{2.3}}=\dfrac{1+\cos \dfrac{\pi}{2.3}}{\sin \dfrac{\pi}{2.3}}\notag\\
&=\dfrac{2{\cos}^2 \dfrac{\pi}{3.2^2}}{2\cos \dfrac{\pi}{3.2^2}\sin \dfrac{\pi}{3.2^2}}=\cot\dfrac{\pi}{3. 2^2}.\notag
\end{align}
Giả sử $x_k=\cot\dfrac{\pi}{3. 2^k}, k=1,2,3...$, khi đó ta có
\begin{align}
x_{k+1}&=\cot\dfrac{\pi}{3. 2^k}+\sqrt{1+{\cot}^2\dfrac{\pi}{3. 2^k}}=\cot\dfrac{\pi}{3. 2^k}+\dfrac{1}{\sin \dfrac{\pi}{3. 2^k}}=\notag\\
&=\dfrac{1+\cos \dfrac{\pi}{3. 2^k}}{\sin \dfrac{\pi}{3. 2^k}}=\dfrac{2{\cos}^2 \dfrac{\pi}{3. 2^{k+1}}}{2\cos \dfrac{\pi}{3. 2^{k+1}}\sin \dfrac{\pi}{3. 2^{k+1}}}=\cot\dfrac{\pi}{3. 2^{k+1}}.\notag
\end{align}
Theo nguyên lý quy nạp, ta ta suy ra $x_n=\cos\dfrac{\pi}{3. 2^n}, n=1,2,3...$
Ta thấy rằng $y_1=\sqrt{3}=\tan \dfrac{\pi}{3}$ vào
$$y_2=\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{3}}{1+\sqrt{1+{\tan}^2 \dfrac{\pi}{3}}}=\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{3}}{1+\dfrac{1}{\cos \dfrac{\pi}{3}}}=\dfrac{\sin \dfrac{\pi}{3}}{1+{\cos \dfrac{\pi}{3}}}=\dfrac{2\cos \dfrac{\pi}{3.2}\sin \dfrac{\pi}{3.2}}{2{\cos}^2 \dfrac{\pi}{3.2}}=\tan\dfrac{\pi}{3. 2}$$
Tương tự như cách tìm công thức của $x_n$, bằng phương pháp quy nạp ta cũng chứng minh được $y_n=\tan\dfrac{\pi}{3. 2^{n-1}},  n=2,3...$. Từ đó ta suy ra
$$x_ny_n=\cos\dfrac{\pi}{3. 2^n}.\tan\dfrac{\pi}{3. 2^{n-1}}=\cos\dfrac{\pi}{3. 2^n}.\dfrac{2\tan\dfrac{\pi}{3. 2^{n}}}{1-{\tan}^2\dfrac{\pi}{3. 2^{n}}}=\dfrac{2}{1-{\tan}^2\dfrac{\pi}{3. 2^{n}}}, n=2,3...$$
Ta thấy $0<{\tan}^2\dfrac{\pi}{3. 2^{n}}<{\tan}^2\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{3}$ nên  $2<x_ny_n<3, n=2,3...$ Ta cũng dễ dàng tính được $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}y_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\tan\dfrac{\pi}{3. 2^{n-1}}=0$.

Bạn đã thích chưa? Tài liệu dung lượng khoảng 821 Kb, sau khi đọc xong viên ngọc quý về dãy số này, hy vọng các bạn có cái nhìn thiện cảm hơn giống như mình với chủ đề được đánh giá là hấp dẫn này.
Download 

Xem thêm: Giới hạn của Dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình
Tài liệu về Dãy số: Những kiến thức cơ bản - nâng cao Reviewed by Tân Phúc on 10:33:00 Rating: 5 Tài liệu về Dãy số: Những kiến thức cơ bản - nâng cao là một trong những tài liệu đầy đủ nhất về dãy số, mà các bạn ôn thi hsg toán và các t...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.