728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Giải một số câu trong đề ra kỳ này toán học tuổi trẻ 442 tháng 4 năm 2014

Ngày hôm qua đi họp, ngồi dưới tranh thủ giải một vài câu trong đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ số 442 tháng 4 năm 2014, bài viết này chúng tôi xin tặng những bạn đọc lâu nay ủng hộ và thường xuyên theo dõi VietMaths.Com.
Ghi chú: Bạn có thể bấm nút G+ hoặc Like ở góc trên cùng, để động viên chúng tôi giải tiếp nhé. Hàng tháng nếu rãnh rỗi chúng tôi sẽ gửi tặng các bạn lời giải một vài câu trong đề ra kỳ này các số báo toán học tuổi trẻ. Xin chân thành cám ơn!

Bài T2/442: Cho tổng $A$ gồm 2014 số hạng
$A=\frac{1}{19}+\frac{2}{19^2}+\frac{3}{19^3}+...+\frac{n}{19^n}+...+\frac{2014}{19^{2014}}.$
Hãy so sánh: $A^{2013}$ và $A^{2014}$.
Hướng dẫn giải:
Nhân 19 vào hai vế ta có
\begin{align} 19A=&\frac{1}{1}+\frac{2}{19^1}+\frac{3}{19^2}+...+\frac{n}{19^{n-1}}+...+\frac{2014}{19^{2013}}=\notag\\
=&\frac{1}{1}+\frac{1+1}{19^1}+\frac{1+2}{19^2}+...+\frac{1+(n-1)}{19^{n-1}}+...+\frac{1+2013}{19^{2013}}=\notag\\
=&\big({1}+\frac{1}{19^1}+\frac{1}{19^2}+...+\frac{1}{19^{n-1}}+...+\frac{1}{19^{2013}}\big)+\notag\\
+&\frac{1}{19}+\frac{2}{19^2}+\frac{3}{19^3}+...+\frac{n}{19^n}+...+\frac{2013}{19^{2013}}=\notag\\
=& \frac{1-\frac{1}{19^{2014}}}{1-\frac{1}{19}}+A-\frac{2014}{19^{2014}}
 \end{align}
Do đó 
$18A=\frac{19}{18}(1-\frac{1}{19^{2014}})-\frac{2014}{19^{2014}}<\frac{19}{18},$
nên
$A<\frac{19}{18^2}<1$
Suy ra
$A^{2013}>A^{2014}$


Bài T4/442:  Giải phương trình:
$4x^3+4x^2-5x+9=4\sqrt[4]{16x+8}$
Hướng dẫn giải: Điều kiện $x\geq -\frac{1}{2}$.
Phương trình đã cho tương đương với
\begin{align}
&4x^3+4x^2-5x+1=4(\sqrt[4]{16x+8}-2)\notag\\
\Leftrightarrow&(4x^2+6x-2)(x-\frac{1}{2})=\frac{64(x-\frac{1}{2})}{(\sqrt[4]{16x+8}+2)(\sqrt{16x+8}+4)}\notag
\end{align}
Do đó ta có kết luận (I), phương trình đã cho tương đương với:
$x=\frac{1}{2}$
hoặc
$2x^2+3x-1=\frac{32}{(\sqrt[4]{16x+8}+2)(\sqrt{16x+8}+4)} \quad (*)$
Dễ thấy rằng $x=\frac{1}{2}$ là một nghiệm của (*). Xét $x\neq \frac{1}{2},$ khi đó $x>\frac{1}{2}$ hoặc $-\frac{1}{2}\leq x$ $<\frac{1}{2}.$
Ta có 
 $2x^2+3x-1=2{(x+\frac{3}{4})}^2-\frac{17}{8},$
do đó:
- Nếu
$x>\frac{1}{2}$ thì $x+\frac{3}{4}>\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$ 
nên
$2x^2+3x-1>2.(\frac{5}{4})^2-\frac{17}{8}=1$,
 mặt khác
$(\sqrt[4]{16x+8}+2)(\sqrt{16x+8}+4)>(\sqrt[4]{16\frac{1}{2}+8}+2)(\sqrt{16\frac{1}{2}+8}+4)=32,$ 
do đó
$\frac{32}{(\sqrt[4]{16x+8}+2)(\sqrt{16x+8}+4)}<\frac{32}{32}=1<2x^2+3x-1$.
- Nếu $-\frac{1}{2}\leq x$ $<\frac{1}{2}.$ thì
$0<x+\frac{3}{4}<\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$ 
nên $2x^2+3x-1<2.(\frac{5}{4})^2-\frac{17}{8}=1$, 
mặt khác
$(\sqrt[4]{16x+8}+2)(\sqrt{16x+8}+4)<(\sqrt[4]{16\frac{1}{2}+8}+2)(\sqrt{16\frac{1}{2}+8}+4)=32,$ 
do đó
$\frac{32}{(\sqrt[4]{16x+8}+2)(\sqrt{16x+8}+4)}>\frac{32}{32}=1>2x^2+3x-1$.
Như vậy ta có kết luận (II), phương trình (*) có  nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$.
Từ kết luận (I) và kết luận (II) ta suy ra phương trình đã cho  có  nghiệm duy nhất $x=\frac{1}{2}$.

Bài T5/442: Cho các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Chứng minh rằng
$44(xy+yz+xz)\leq{(3x+4y+5z)}^2$
Hướng dẫn giải:
Nếu $x=0$ thì ta có $y+z=1$, khi đó BĐT đã cho trở thành
\begin{align} &44yz\leq{(4y+5z)}^2\notag\\
 \Leftrightarrow &0\leq16y^2+25z^2-4 (**)\notag
\end{align}
Ta có
\begin{align}
16y^2+25z^2-4&=16(y^2+z^2)+9z^2-4\geq16\frac{(y+z)^2}{2}+9z^2-4=\notag\\
&=16\frac{(1)^2}{2}+9z^2-4\geq4>0\notag
\end{align}
nên (**) đúng. Do đó BĐT đã cho đúng với $x=0.$
Nếu $x\neq0$ thì ta đặt $y=ax, z=bx$, ta có $x(1+a+b)=1,$ khi đó ta có bất đẳng thức đã cho trở thành
\begin{align} &44(a+ab+b)\leq{(3+4a+5b)}^2\notag\\ \Leftrightarrow& 16a^2+25b^2-4ab-20a-14b+9\geq0\notag\\  \Leftrightarrow& {(a-2b)}^2+5{(a\sqrt{3}-\frac{2}{\sqrt{3}})}^2+7{(b\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}})}^2\geq 0 (***)\notag \end{align}
Bất đẳng thức (***) hiển nhiên đúng, dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi
$$\begin{cases}
&a=2b\\
&a\sqrt{3}-\frac{2}{\sqrt{3}}=0\\ &b\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}=0
\end{cases}$$
tưong đương với
$$\begin{cases}
&a=\frac{2}{{3}}\\ &b=\frac{1}{{3}}
\end{cases}$$
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng, dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{1}{3}$, $z=\frac{1}{6}$.
Bài T6/442: Chứng minh rằng phương trình sau vô nghiệm trên tập số thực
$9x^4+x(12x^2+6x-1)+(x+1)(9x^2+12x+5)+1=0$
Hướng dẫn giải:
\begin{align} \text{Phương trình đã cho}&\Leftrightarrow 9x^4+21x^3+27x^2+16x+6=0\notag\\ &\Leftrightarrow 9x^2{\big(x+\frac{7}{{6}}\big)}^2+2{\big(\frac{4}{\sqrt{3}}x+\sqrt{3}\big)}^2+\frac{49}{{12}}x^2=0\notag
\end{align}
$$\Leftrightarrow \begin{cases}
&x{\big(x+\frac{7}{{6}}\big)}=0\\
&\frac{4}{\sqrt{3}}x+\sqrt{3}=0\\
&x=0
\end{cases}$$
Hệ phương trình cuối vô nghiệm nên suy ra phương trình đã cho vô nghiệm. Ok
Còn tiếp ...nhớ là bấm nút G+ hoặc Like ủng hộ nhé.

Giải một số câu trong đề ra kỳ này toán học tuổi trẻ 442 tháng 4 năm 2014 Reviewed by Tân Phúc on 04:23:00 Rating: 5 Ngày hôm qua đi họp, ngồi dưới tranh thủ giải một vài câu trong đề ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ số 442 tháng 4 năm 2014, bài viết...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.