728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Tài liệu ngắn gọn về dãy số và giới hạn ôn thi Olympic Toán sinh viên Toàn quốc

Lời bình: Như chúng ta đã biết kỳ thi olympic toán sinh viên toàn quốc hàng năm được hội toán học việt nam phối hợp với bộ giáo dục và đào tạo đứng ra đăng cai tổ chức, và đã thu hút được sự tham gia của đông đảo các bạn sinh viên tài năng đến từ các trường cao đẳng đại học trong cả nước. đây không chỉ là sân chơi bổ ích dành cho các bạn sinh viên yêu thích và đam mê toán học, mà còn là nơi để các trường đại học cao đẳng giới thiệu sản phẩm đào tạo ưu tú của mình. 
Thực tế, mặc dù trong 20 năm trở lại đây, kỳ thi olympic toán sinh viên toàn quốc đã được tổ chức liên tục, nhưng cho đến nay vẫn chưa có một tài liệu luyện thi olympic toán phù hợp, chính thức để luyện thi cho sinh viên, đây quả là một vấn đề đáng phải lưu tâm.
Về tài liệu ôn, các bạn có thể xem thêm: Tài liệu luyện thi Olympic Toán Sinh viên Toàn Quốc
 
tai lieu ngan gon ve day so va gioi han on thi olympic toan sinh vien
Một ví dụ trong tài liệu về dãy số và giới hạn dùng cho Olympic Toán Sinh viên
Nhằm mục đích giúp sinh viên phát huy tính tích cực, chủ động trong việc ôn thi tác giả đã cố gắng  biên soạn một tài liệu ngắn gọn về dãy số và giới hạn dùng cho việc ôn thi Olympic Toán sinh viên Toàn quốc, với một số mục cơ bản:
- một số kiến thức cơ bản (những kiến thức này thường được sử dụng trong kỳ thi)
-  bài tập minh họa (các bài tập phần lớn sẽ được trích từ đề thi olympic toán sinh viên các năm, trong các bài tập minh họa phải chứa đựng những kỹ thuật giải toán điển hình, với mỗi bài tập  sẽ có phần phân tích cách tiếp cận lời giải
-  bài tập làm thêm (sinh viên dựa vào những kỹ thuật đã được học tự giải các bài tập)
Xin nhấn mạnh thêm rằng về tài liệu hay thì VietMaths có tương đối nhiều, chẳng hạn như: Bài tập ôn luyện thi Olympic Toán phần Giải tích và Đại số (Trần Văn Sự) 

Cái hay, cái giá trị của tài liệu ngắn gọn về dãy số nằm ở đâu?
Để đánh giá chính xác vấn đề xin mượn một ví dụ đó là một câu trong đề thi Olympic Toán sinh viên 2015: Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_n$  xác định như sau
$\begin{cases}
x_0&=0\\
x_n&=\frac{x_{n-1}}{2004}+(-1)^n, \forall n\geq 1
\end{cases}.$
Tính $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x^2_n.$
Và các bạn xem tác giả phân tích và bình luận:
Ta chứng minh công thức
$x_n =\frac{(-1)^n 2004^n-1}{2004^{n-1}2005}$
Thật vậy, đặt $x_n=\frac{f(n)}{2004^n},$ ta sẽ thu được
$\frac{f(n)}{2004^n} =\frac{1}{2004}f(n-1)\frac{1}{2004^{n-1}} +(-1)^n.$
Suy ra
$f(n)-f(n-1) =(-1)^n 2004^n,$
do đó
$f(n)-f(0) =\sum\limits^{n}_{i=1}[f(i)-f(i-1)]=\sum\limits^{n}_{i=1}(-1)^i 2004^i.$
 Vì $x_0=f(0)=0$ nên
$x_n =\frac{1}{2004^n}.\sum\limits^{n}_{i=1}(-1)^i 2004^i=\frac{(-1)^n 2004^n-1}{2004^{n-1}2005}.$
Suy ra
$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x^2_n={\big(\frac{2004}{2005}\big)}^2.$ 

Ở trên là lời giải chính thức của Ban tổ chức Kỳ thi Olympic Toán Sinh Viên năm 2005, bạn có thể xem ở: Tuyển tập đề thi và đáp án olympic Toán sinh viên toàn quốc
chúng ta thấy rằng điểm mấu chốt của việc tìm lời giải chính là việc đi tìm công thức tổng quát của dãy  $\left\{x_n\right\}_n$. Khi ta đã tìm được công thức tổng quát của dãy số $\left\{x_n\right\}_n$ thì việc tính giới hạn là công việc quá dễ dàng.  Thực ra ta có thể tổng quát hóa phần  quan trọng nhất của bài toán ở trên như sau:  Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_n$  xác định như sau
$$\begin{cases}
x_0&=\alpha\\
x_n&=a.{x_{n-1}}+b.{\beta}^n, \forall n\geq 1
\end{cases}.$$
Khi đó
Nếu $a=\beta$ thì $x_n=\alpha {\beta}^n+bn{\beta}^n$.
Nếu $a\neq\beta$ thì $x_n=(\alpha-kb){a}^n+kb{\beta}^n$ trong đó $k=\frac{\beta}{\beta-a}$.
Ta đi chứng minh kết quả trên, ta thấy rằng nếu $a=\beta$ thì ta có thể phân tích ${\beta}^n=n{\beta}^n-\beta(n-1){\beta}^{n-1}$, do đó
\begin{eqnarray} x_n-bn{\beta}^n&=&\beta.x_{n-1}+b.{\beta}^n-bn{\beta}^n\notag\\
 &=&\beta.x_{n-1}+b.\big[n{\beta}^n-\beta(n-1){\beta}^{n-1}\big]-bn{\beta}^n\notag\\
&=&\beta\big[x_{n-1}-(n-1)b{\beta}^{n-1}\big]=...={\beta}^n\big[x_{0}-0.b{\beta}^{0}\big]\notag
\end{eqnarray}
 Từ đó ta có $x_n=\alpha{\beta}^n +bn{\beta}^n.$
Nếu $a\neq\beta$ ta đặt $k=\dfrac{\beta}{\beta-a}$, khi đó ta có phân tích ${\beta}^n=k{\beta}^n-ak{\beta}^{n-1}$. Ta có
\begin{eqnarray} x_n-kb{\beta}^n&=&a.x_{n-1}+b.{\beta}^n-kb{\beta}^n\notag\\
 &=&a.x_{n-1}+b.\big[k{\beta}^n-ak{\beta}^{n-1}\big]-bn{\beta}^n\notag\\
&=&a\big[x_{n-1}-bk{\beta}^{n-1}\big]=...=a^n\big(x_{0}-bk\big)\notag
\end{eqnarray}
Từ đó ta có $x_n=kb{\beta}^n+a^n\big(\alpha-bk\big).$
Với kết quả đạt được này, chúng ta có thể tìm được rất nhiều ví dụ về dãy hội tụ phức tạp hơn nhiều so với ví dụ này.

Nếu thích phong cách tài liệu cho OLP Toán SV này, hãy Like hoặc Gờ + 1 nhé mọi người. Địa chỉ tải tài liệu về dãy số và giới hạn của tác giả Nguyễn Hồng Phong: Download 


Xem thêm:   Tài liệu về Dãy số: Những kiến thức cơ bản - nâng cao
Tài liệu ngắn gọn về dãy số và giới hạn ôn thi Olympic Toán sinh viên Toàn quốc Reviewed by Tân Phúc on 21:54:00 Rating: 5 Lời bình: Như chúng ta đã biết kỳ thi olympic toán sinh viên toàn quốc hàng năm được hội toán học việt nam phối hợp với bộ giáo dục và đào...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.