728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Bất đẳng thức Bunhiakốpsky cho người học Toán (Đỗ Kim Sơn)

Trong chương trình toán cơ bản hiện hành thì bất đẳng thức Bunhiacopxki không được đưa vào, điều này là rất tiếc, vì những ứng dụng tuyệt vời của nó. Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học vĩ đại Victor Yakovlevich Bunyakovsky.
tai lieu bat dang thuc Bunhiacopxki cua do kim son
Bất đẳng thức Bunhiakốpsky rất cần cho người học Toán, tài liệu này của tác giả Đỗ Kim Sơn sẽ coi như một cuốn sách ôn thi học sinh giỏi toán mà ai cũng phải lưu tâm.



Địa chỉ tài liệu Bất đẳng thức Bunhiakốpsky: Download

Xem thêm: Bất đẳng thức và những lời giải ấn tượng trong tôi Phạm Kim Chung

Dạng text:
  I.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) : 

Cho 2 bộ số thựca1; a2 ;...; an vàb1;b2 ;...;bn , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: 
a1b1 a2b2... anbn2a12 a22... an2b12 b22... bn2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 

a1 a2 ... an 
b1 b2  bn với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. 


II. Các hệ quả : 
Hệ quả 1: 
 

Nếu a1x1 ... an xn C (không đổi) thì min x12 ... x2n
 

C
a ... a2 2
 

đạt được khi x1 ... xn 
 
1
 
n
 
a1  an 

Hệ quả 2: 
 

Nếu x12 ... x2 C2 (không đổi) thì maxa1x1 ... an xn C n

đạt được khi x1 ... xn 0 
 


a12 ... a2 n
 
a1  an 
 
mina1x1 ... an xn C 
 

a12 ... a2 n
 

Dấu "=" xảy ra⇔ x1 ... xn 0 
a1  an 

III.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng: 

• Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm 
a1;a2;...;an ;b1;b2;...;bn ;c1;c2;...;cn ta luôn có : 
a1b1c1 a2b2c2 ... anbncn2a13 a32 ... a3nb13 b32 ... b3nc13 c32 ... c3n


Chứng minh: 
 

Đặt A 3 a13 a32 ... a3n , B 3 b13 b3 ... b3 , C 3 c13 c32 ... c3n 
 

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 
 
2
 
n
 

Page 1  
 
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang  GV Ñoã Kim Sôn 

Nếu A 0 hoặc B 0 hoặc C 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thức 
đều bằng 0. 
Vậy ta chỉ xét trường hợp A 0; B 0;C 0 

Đặt xi ai ; yi bi ; zi ci với i 1; 2;3 
A B C
⎧x1 x2 x3 1 
3 3 3
⎪
Khi đó ta có:⎨ y13 y32 y3 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x1 y1z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 1 3
 
⎪ z3 z3 z3 1 
 
⎩1 
 
2
 
3
 
⎧
⎪
 

x1 y1z1 x1 x1 x1 
 
⎪
 
3
 

3
 
3
3
 
3
 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: xi ; yi ; zii 1; 2;3 ta có:⎨ 2 2 2 
 
3
 
3
 
3
 
⎪x y z x2 x32 x32 
 
⎪
 
3
 
⎪
 
x3 y3 z3 x3 x3 x3 
 


Cộng các bất đẳng thức trên lại ta được: x1 y1z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 1(đpcm) 
 
⎪
⎩
 
3
 
3
3
 
3
 


⎧x1 y1 z1 
 

⎧ a1 b1 c1 
⎪A B C 
⎪
 
Đẳng thức xảy ra⇔⎨ 2 
 
⎪x y z⇔⎪ a2 b2 c2 
 
2
 
2
 
⎨A B C 
 
⎩⎪x3 y3 z3 
 
⎪
 
⎪ a3 b3 c3 
 
⎩⎪A B C 
Hay ai : bi : ci A : B : Ci 1; 2;3 tức là: a1 : b1 : c1 a2 : b2 : c2 a3 : b3 : c3 
• Tổng quát : bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng cho rộng cho m dãy số thực không âm: 

Cho m dãy số thực không âm: 
a1;a2;...;an ,b1;b2;...;bn ,  ,K1; K2;...; Kn
Ta có: 
a1b1...K1 a2b2...K2... anbn...Knma1m am... amb1m bm... bm...K1m K m... K m
2 n 2 n 2 n
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: 
a1 : b1 : ... : K1 a2 : b2 : ... : K2 an : bn : ... : Kn ( chứng minh tương tự như trên) 



I- MỘT SỐ VÍ DỤ : 

Bài 1: Cho x, y, z là ba số dương thỏa 4x 9 y16z 49 . Chứng minh rằng: 
T 1 25 64 49 
xy  z

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10  Page 2  
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang  GV Ñoã Kim Sôn 

Đẳng thức xảy ra khi nào? 
Hướng dẫn giải 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho sáu số 2 x;3 y; 4 z và 1 ; 5 ; 8 ta được: 
 
x
 
yz 
 

⎤⎡⎛ 1⎞⎛ 5⎞⎛ 8⎞⎤
 
49.T4x 9 y 16z⎛ 1 25 84⎞⎡ 2 x 
 
2
 
2
 
2
 
2
 
2
 
⎜x y 
 

 
3 y 4 z⎥⎢⎜
 

 
2
 
⎥
 
⎝
 
z⎟⎢⎠⎣
 
⎦⎢⎝ x⎟⎜ y⎟⎜ z⎟⎥⎟⎝
 

⎛
 

2
 
⎣
 
⎠⎜⎝
 
⎠
 
⎠⎦
 
⎜ 2 x. 
 
1 3 y. 5 4 z. 8⎞ 492 
 
⎜
 
⎟
 

⇒ T 1 25 64 49 
 
⎝
 
x
 
y
 
z⎟⎠
 
xy 
 
z
 

⎧x 1 
 
⎧1 5 8 
 
⎪
⎪
 
2
 
Đẳng thức xảy ra khi⎪ 2x 3y 4z ⎨
 
⇔⎪y 5 ⎨
 
⎩⎪4x 9 y16z 49 
 
⎪
 
3
 
⎪z 2 
 
⎪
⎩

Bài 2 : Cho x 0; y 0 và x2 y2 x y .Chứng minh: 
x 3y 2 5 
Hướng dẫn giải 
2 2
Giả thiết: x2 y2 x y⇔⎛ x 1⎞⎛ y 1⎞ 1 
 
⎜
⎝
 
2⎟⎜⎠⎝
 
2⎟⎠
 
2
 

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:1;3;⎛ x 1 ; y 1⎞ ta có: 
 
⎜
⎝
 
2
 
2⎟⎠
 

⎡1.⎛1 1⎞ 3.⎛ y 1⎞⎤ 10⎡⎛ x 1⎞2⎛ y 1⎞2⎤ 5 2
 
⎢⎜ 2⎟
 
⎜
 
⎢⎜
 
⎣⎝
 
⎠
 
⎝
 
2⎟⎥⎠⎦
 
⎢⎝⎣
 
2⎟⎜⎠⎝
 
2⎟⎥
 
⇒ x 3 y 2 5 2

⇒ x 3y 2 5 
⇒ x 3y 2 5 
 
⎠⎥⎦
 
⎧ 1 5
 
Đẳng thức xảy ra khi⎪
 
⎪x 2 10 
⎨
 
⎪y 1 3 5 
 
⎩⎪
 
2 10 
 

Bài 3 : Cho a,b, c 0 ; a b c 1 .Chứng minh: 



Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10  Page 3  
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang 
 



1
 




2
 



1 1 1 30 
 
GV Ñoã Kim Sôn 
 
abc 
 


Gọi A
 

1
 
2
 
2
 
ab bc ac 
Hướng dẫn giải 
 
abc 
 
2
 
2
 
2
 
111 
ab bc ac 
 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: 
⎛
 


1
 


;1;1;1⎟⎞
 
⎜2 
⎝ a b2 c 2 
 
ab bc ca⎠
 

 
a2 b2 c2 ;3 ab;3 bc;3 ca 
 

 
Ta có:1 3 3 32a2 b2 c2 9ab 9bc 9ca A 
 
⇒ 100⎡a b c2 7ab bc ca⎤ A (*) 
 
⎣
 
⎦
 

Mà ab bc ca 1a b c2 1 (do a b c 1) 
3 3
Do đó: (*)⇒ A 30. 
Đẳng thức xảy ra khi a b c 1 
3
 

Bài 4 : Cho x; y; z 0 và thoả x y z 1.Chứng minh : 
 

x2 12 y2 12 z2 12 82 
 


Gọi S x2 12 y2 12 z2 12 
 

Hướng dẫn giải 
 
x
 
y
 
z
 
x
 
y
 
z
 

Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:1;9;⎛ x; 1⎞
 
⎜ x⎟
 
⎝
 
⎠
 

Ta có: 
 

x 9 1 81. x2 12 82. x2 12 
 

( 1) 
 
x

y 9 82. y2 12 
 
x
 
x
 
Tương tự:  y y ` ( 2) 


z 9 82. z2 12  ( 3) 
 
z

Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: 
 
z

S. 82 x y z 9⎛ 1 1 1⎞
 
⎜x y z⎟
 
⎝
 
⎠
 

S. 82 81 x y z 9⎛ 1 1 1⎞ 80 x y z
 
Hay 
 
⎜x y z⎟
 
⎝
 
⎠
 




Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10  Page 4  
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang 
 




 2.9.3. 
 
GV Ñoã Kim Sôn 


 x y z⎛⎜ 1 1y 1z⎞⎟ 80 162 80 82 
 
⎝
 
x
 
⎠
 

Vậy 
 

x2 12 y2 12 z2 12 82 
 
x
 
y
 
z
 


Bài 5 : Cho ba số thực dương a,b, c thoả ab bc ca abc .Chứng minh rằng: 

b2 2a2 c2 2b2 a2 2c2 3 
ab  bc  ca 
Hướng dẫn giải 
 

Ta có: 
 

b2 2a2 b2 2a2 1 2 1 (do a,b dương) 
 
ab  a 2 b2  a2  b2 
Đặt x 1 ; y 1 ; z 1 thì 
a b c
 
giả thiết⎧
 
a,b, c 0 
 
⎧x; y; z 0 
 
⎨ab bc ca abc⇔⎨x y z 1 
⎩ ⎩
và (đpcm)⇔ x2 2 y2 y2 2z2 z2 2x2 3 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 
3 x 2 2 y 2 3 x 2 y 2 y 2 x y y2 

⇒ x2 2 y 2 1 x 2 y
3
 
Tương tự 





Vậy 
 

y2 2z2 1 y 2z
3

z 2 2 x2 1 z 2 x
3

x 2 2 y 2 y 2 2 z 2 z 2 2 x 2 1 3x 3 y 3z 3 
3
 
Đẳng thức xảy ra khi x y z 1 
3
Với x y z1 thì a b c 3 
3

Bài 6 : Chứng minh:  a1 b1 c1 cab 1 với mọi số thực dương a;b;c 1 
Hướng dẫn giải 
Đặt a1 x ;b1 y ;c1 z 
2 2 2
Với x; y; z 0.Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 
 
x yz
 
z 
 

2
 
 1⎡ x2 1 y2 1 1⎤
 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 

Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 
 
⎣
 
⎦
 



Page 5  
 
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang  GV Ñoã Kim Sôn 
 


x y
 

x 
 


2
 

 1 y2 1⇒ x y z
 

x 
 


2
 

 1 y2 1 z 
 


(1) 
 
x1 y 2
 

2
 
 1 z
 
x 
 

2
 

 1 y2 1 1. z2 1 
 
(2) 
 
Kết hợp (1) và (2) ta có x y z
 
z 
 

2
 

 1⎡ x2 1 y2 1 1⎤
 
Vậy 
 
a1 b1 c1 cab 1
 
⎣
 
(đpcm) 
 
⎦
 

Bài 7 : Cho a;b;c 0 và thoả abc 1.Chứng minh: 
1
 
3
 
31 
 
31 
 
3 
 



Đặt x
 
ab c b c a c a b 2 
Hướng dẫn giải 
1 ; y 1 ; z 1⇒ xyz 1; x 0; y 0; z 0 
 
a b c
2 2 2
Ta cần chứng minh bất đẳng thức sau : A= x y z 3 
yz zx x y 2 
⎛ ⎞
 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số : 
 

 
y z ; z x; x y ;⎜ x ; y ; z⎟
 

 
⎜ yz zx x y⎟
 
Ta có: x y z2 y z z x x y A 

⇒ A x y z 3 .3 xyz 3 (do xyz 1 ) 
 


⇒ A 3 
 
⎝
 
⎠
 
2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi x y z 1 
Với x y z 1 thì a b c 1. 



Bài 8 : Cho a;b;c 0 .Chứng minh: 
 


a
 
a
a ba c
 


 


b
 
b
b cb a
 


 


c
 
c
c ac b
 

1 
 
Hướng dẫn giải 
 


Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: 
Ta có: 
 

 
a; b ; 
 


c; a 
 

 

 
ac ab 
 

 
2
 
a bc a⇒ ac ab
 
a bc a
 
⇒ a ac ab a  a bc a
a a a
⇒   (1) 
a a ba c a ac ab  a b c 




Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10  Page 6  
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang  GV Ñoã Kim Sôn 


b b
 
Tương tự: 
 
b


c
 
b cb a
c
c ac b
 




 
a b c 
c
a b c 
 
(2) 


(3) 
 
Cộng (1),(2) và (3) theo vế ta được: 
 


a
 
a
a ba c
 

 


b
 
b
b cb a
 

 


c
 
c
c ac b
 
1 
 
Đẳng thức xảy ra khi a b c . 


Bài 9 : Cho a;b 0 và thoả a2 b2 9 .Chứng minh : 
 



ab 3 2 3 
 
ab3  2
Hướng dẫn giải 
Ta có: a2 b2 9 
⇔ 2aba b2 9 
⇔ 2aba b 3a b 3
 

⇔
 

2ab a b 3 
ab3 
 
⇔ ab a b 3 
ab3  2 2
Mà theo BĐT Bunhiacôpxki thì a b 2. a2 b2 3 2 
 

Nên 
 

ab 3 2 3 
 
ab3  2
⎧a;b 0 
⎪
Đẳng thức xảy ra khi⎪a2 b2 9⇔ a b 3 ⎨
 
⎪
 
2
 
⎩⎪a b 

Bài 10: Cho a;b;c; d dương tuỳ ý.Chứng minh : 1 1 1 p q p q p q 
a b c pa qb pb qc pc qa 
Hướng dẫn giải 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có 
2
⎛p 
 
 p q
 
2
 
⎜
 
q . qb⎞⎛ p q⎞ pa qb
 
⎜ a . pa b 
⎝
 
⎟⎜a b⎟
 
Tương tự ta chứng minh được 
 
⎠⎟⎝
 
⎠
 

 p q2⎛⎜⎝ p q⎞⎟⎠ pb qc ; bc 
Cộng các vế tương ứng của ba bất đẳng thức ta có : 



Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 
 

 p q2⎛⎜⎝ p q⎞⎟⎠ pc qaca 
 







Page 7  
 
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang  GV Ñoã Kim Sôn 
 

 p q2⎡⎢ pa 1 qb
 

1
pb qc pc qa⎥
 

 
1⎤ pq⎛1 1 1⎞
 
⎣
 

 
⎦
 
⎜⎝ a b c⎟⎠
 
Hay 
 

 p q⎡⎢ pa 1 qb pb 1 qc pc 1 qa⎤⎥ 1 1 1 
 
⎣
 

 
⎦abc 
 
Vậy 
 
111 pq pq pq 
a b c pa qb pb qc pc qa 
 


Bài 11 : Cho 4 số dương a;b;c; d .Chứng minh: 
 
a3 
 
b3 
 
c3 
 
3
 

 abcd 
 

 

 
d 
 
2
 
2
 
2
 
2
 
bcd cda bda abc  3
Hướng dẫn giải 
3 3 3
a b c d3 
Đặt P   
bcd cda bda abc 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số: 
 
⎛
 
⎜ b c d c d a b d a a b c⎟ ; ab c d; b c d a; c d b a; d a b c
 
a3 
 
b3 
 
c3 
 
d3 
 
⎞
 
⎜⎝
Ta có: 
 
;
 
;
 
;
 
⎟
⎠
 

 

 
a b c d P⎡⎣ab c d bc d a cd a b da b c⎤⎦
2 2 2 22 
⇔ a b c d P⎡ a b c d a b c d⎤
 
2
 
2
 
2
 
22 
 
⎣
 
2
 
2
 
2
 
2
 
2
 
⎦
 
(1) 
 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số:a;b;c; d;1;1;1;1 ta được: 
 a b c d2 4 a 2 b 2 c 2 d 2 ( 2) 
 

Từ (1) và (2) ta được 
 
a 
 

2
 

 b 2 c 2 d 2 3P a 2 b 2 c 2 d 22
 
⇔ a 2 b 2 c 2 d 2 3P 
 
a3 
 
b3 
 
c3 
 
3
 
2
 
2
 
2
 
2
 
Vậy    d   abcd 
bcd cda bda abc  3

a b c
Bài 12 : Cho các số dương a;b;c thỏa a + b + c = 1 . Chứng minh :    1 
 



Đặt A
 


a
 


b 
 




 


c
 
Hướng dẫn giải 
abc 
 
1 b a 1 c b 1 a c 
 
1 b a 1 c b 1 a c  2b c 2c a 2a b 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 
⎡
a b c⎢ 2b c a2b c 2c a b2c a 2a b c2a b⎥
2 a b c ⎤2 
⎣ ⎦

⎡ a b c⎤⎡a2b c b2c a c2a b⎤
 
⎢ 2b c 2c a 2a b⎥⎣
 
⎦
 
⎣
 
⎦
 


Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10  Page 8  
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang  GV Ñoã Kim Sôn 

 a b c2 
 
⇔ A
 
3ab bc ca
 
Ta lại có: 

a b c2 3ab bc ca . Suy ra 
 


A
 

3ab bc ca
3ab bc ca
 


1 
 
a b c
 
Vậy 
 

 

 
1 
 
1 b a 1 c b 1 a c 
⎧2b c 2c a 2a b 
 
Dấu đẳng thức xảy ra khi⎪a b c ⎨
 
⇔abc1 
 
⎪a b c 1 ⎩
 
3
 
Bài 13 : Giả sử các số thực x; y; z;t thoả mãn điều kiện: a x2 y2 b z2 t2 1 với a;b là hai số dương cho 
 

trước. Chứng minh: x z y t a b 
ab 

Do a;b 0 nên từ giả thiết ta có: 
 



Hướng dẫn giải 
 

ax y bz t 1⇔
 
2
 
2
 
2
 
2
 
x2 y 2 z 2 t 2 1 
 
b a ab 
2 2 2 2
⇔ x z yt 1 
b a b a ab 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 

 x z⎜⎝ b 
 
2
 
⎛ x . b z . a⎞2 b a⎛ x 2 z 2⎞
 
⎟
 
⎜ b a⎟
 
(1) 
 
a

 y t2b a⎛⎜ yb ta⎞⎟
 
⎠
 
⎝
 
⎠
 
Tương tự : 

Cộng từng vế (1) và (2) ta được: 
 
⎝
 
2
 
2
 
⎠
 
(2) 
 

 x z2 y t2b a⎛⎜ xb za yb ta⎞⎟ aabb 
2 2 2 2
(3) 
⎝ ⎠
Mặt khác x z2 y t2 2 x z y t (4) 
 

Do đó từ (3) và (4) suy ra: x z y t a b 
ab 
 
⎧x z 
⎪b a 
⎪y t 
 


⎧x y 
 
Dấu đẳng thức xảy ra⇔⎨
 
⎪
 
⇔⎪
 
⎪b a 
 
⎨z t ax ⎪
 
⎪x z y t 
 
⎩
 
b
 
⎪
⎩



Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 
 




Page 9  
 
 
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang  GV Ñoã Kim Sôn 

Bài 14 : Cho các số thực dương x; y; z;t thoả mãn xyzt 1.Chứng minh: 
 
1
 

3 
 
1
 

3 
 
1
 

3 
 
1
 
4 
 
x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx 3 3

Hướng dẫn giải 
 
Với x; y; z;t dặt a
 
1 ;b 1 ;c 1 ; d 1 (a;b;c; d 0) và abcd 1 
 
x y z t
⇒ x 1 ; y 1 ; z 1 ;t 1 
a b c d
Bất đẳng thức cần chứng minh tương với: 
 
1
 

 
1
 

 
1
 

 
1
 
4 
 
1⎛1 1 1⎞ 1⎛1 1 1⎞ 1⎛ 1 1 1⎞ 1⎛1 1 1⎞ 3 
a3⎜ bc cd bd⎟ b3⎜ ac cd ad⎟ c3⎜ ad bd ab⎟ d 3⎜ ab bc ac⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 3 3 3
⇔ bac d cb a dca b adb c 4 
d 3
bcd  adc  abd  abc 
3 3 3
a b c d3 
 
⇔
 

 

 

 
 4 (vì abcd 1 ) 
 
ab c d b c d a c d a b d a b c 3 
 

⇔
 
a2 
 


 
b2 
 


 
c2 
 

d 
 
2
 

4 
 
bcd cda dab abc 3 
 
Đặt S
 
a2 
 

 
b2 
 

 
c2 
 
d 
 
2
 
bcd cda dab abc 
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: 
 
S .⎡ b c d c d a d a b a b c⎤ a b c d 2 
 
⎣

⇒S
 

 a b c d2 1 a b c d
3 a b c d 3 
 
⎦
 


(1) 
 
Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số dương: 
a b 2 ab;  c d 2 cd 
Suy ra a b c d 2  ab cd 
Lại áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương  ab; cd ta có: 
ab cd 2 abcd 24 abcd 2 (vì abcd 1 )  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra S 4 
3
1 1 1 1
Vậy     4 
1⎛1 1 1⎞ 1⎛1 1 1⎞ 1⎛ 1 1 1⎞ 1⎛1 1 1⎞ 3 
a3⎜ bc cd bd⎟ b3⎜ ac cd ad⎟ c3⎜ ad bd ab⎟ d 3⎜ ab bc ac⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c d 1⇔ x y z t 1 . 



Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 
 
   

Khá hay thì có: Bộ sách BẤT ĐẲNG THỨC thứ hai, mới, hoàn mỹ
Bất đẳng thức Bunhiakốpsky cho người học Toán (Đỗ Kim Sơn) Reviewed by Tân Phúc on 16:16:00 Rating: 5 Trong chương trình toán cơ bản hiện hành thì bất đẳng thức Bunhiacopxki không được đưa vào, điều này là rất tiếc, vì những ứng dụng tuyệt v...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.