Mời tất cả các bạn yêu thích toán học cùng tham khảo bài viết Phương trình lượng giác, mũ lôgarit và hình học giải tích của Bồ Xuân Hậu.
Trước hết, cũng xin giới thiệu mấy chủ đề liên quan nhất, về phương trình lượng giác bạn đọc có thể xem: chuyên đề LƯỢNG GIÁC ôn thi đại học của Nguyễn Đức Thắng
Còn về chủ đề mũ logarit thì có thể xem: Chuyên đề Phương trình - Hệ phương trình 2015 của MathsCope
Trở lại với chuyên đề của Thầy Bồ Xuân Hậu, bạn có thể xem trực tiếp:
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 1
KHÓA 12 THÁNG
THÁNG 4
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
MŨ, LOGARIT
VÀ
HÌNH GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.
ĐT: 0975.050.027
FACEBOOK: facebook.com/nobi39
PAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán "Mỗi tuần một chuyên đề"
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
LỜI NÓI ĐẦU 2
Các em thân mến.
Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn
rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng của thời học sinh.Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của
cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai của các em.
Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách
khó khăn của cuộc sống.Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy
nghĩ bồng bột, lười nhác
Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán.
Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên của cuộc đời một cách dễ dàng hơn.
Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi
sai sótcác em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá.
Chúc các em học tốt.
Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.
ĐT: 0975.050.027
FACEBOOK: facebook.com/nobi39
PAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán "Mỗi tuần một chuyên đề"
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
PHẦN 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
3
BÀI I: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
I. Công thức cộng
II. Công thức nhân đôi
III. Công thức biến đổi tổng thành tích
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
IV. Công thức tích thành tổng 4
V. Một số công thứ cơ bản
( ) ( )
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
BÀI 2: PT LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
5
I. Phƣơng trình bậc nhất của sin và cos
Điều kiện phương trình có nghiệm:
Phương pháp:
II. Phƣơng trình đẳng cấp bậc 2
Phương pháp:
• Thế vào (1)
•
III. Phƣơng trình đối xứng
Phương pháp:
Đặt ( )||
Thế vào (1), giải phương trình theo t.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
III. Một số ví dụ
6
Ví dụ 1
Giải phương trình
Phân tích
Phương trình có chứa , ta thường đưa về dạng cơ bản I.
Giải
Điều kiện: {
{
( )
[
Kết hợp với điều kiện ta được
Ví dụ 2
Giải phương trình
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
tiên.
Phân tích
Trong (1) có
có thể giảm ước
Giải
Điều kiện: {
[
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
là đặc biệt, nên tập trung phân tích nó đầu
ở 2 vế.
7
[
Kết hợp với điều kiện ta được
Ví dụ 3
Giải phương trình
Phân tích
Trong (1) có là đặc biệt, nên tập trung
phân tích nó đầu tiên.
có thể giảm ước .
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Giải
8
Điều kiện: { {
[
[
Kết hợp với điều kiện ta được
Ví dụ 4
Giải phương trình
( ) ( )
Giải
( )
Điều kiện:
( )
{
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
9
( )
Đặt Thế vào trên ta được
[
Với
Kết hợp điều kiện ta được
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
BÀI 3: MỘT SỐ DẠNG THƢỜNG GẶP
I. Phƣơng trình chứa điều kiện mẫu số.
Ví dụ 1
Giải phương trình
Phân tích
Đây là phương trình dễ, nhưng chú ý điều kiện mẫu số.
Giải
10
Điều kiện: {
{
[
[
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Ví dụ 2 11
Giải phương trình
Phân tích
Pt đối xứng, đưa về dạng tổng tích. Chú ý điều kiện mẫu.
Giải
Điều kiện: {
Kết hợp điều kiện ta được
II. Phƣơng trình chứa tan, cot.
Ví dụ 1
Giải phương trình
Phân tích
Trong (1) có
phân tích nó đầu tiên.
,
là đặc biệt, nên tập trung
Giải
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Điều kiện: { 12
[
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình
Ví dụ 2
Giải phương trình
Phân tích
Trong (1) có
phân tích nó đầu tiên.
là đặc biệt, nên tập trung
Giải
Điều kiện: { {
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
13
[
Giải (2)
Giải (3)
(vô nghiệm)
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình
III. Phƣơng trình đƣa về dạng tích.
Ví dụ 1
Giải phương trình
Phân tích
Chú ý: phân tích
Giải
Điều kiện:
[
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
14
[
[
Ví dụ 2
Giải phương trình
Phân tích
Phân tích trước tiên, tùy theo từng bài mà đưa về
các công thức thích hợp.
Giải
Điều kiện:
[
Ví dụ 3
Giải phương trình
Phân tích
Trong (1) có
tích nó đầu tiên.
là đặc biệt, nên tập trung phân
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
15
Giải
Điều kiện: {
[
Giải (2)
Giải (3)
Đặt ( )||
Thế vào (1), ta được
(loại)
Với
(
)
[
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Ví dụ 4 16
Giải phương trình
Phân tích
Phương trình dạng đưa về tích, chú ý điều kiện mẫu số.
Phân tích trước tiên, tùy theo từng bài mà đưa về
các công thức thích hợp.
Giải
Điều kiện: {
[
[
Ví dụ 4
Giải phương trình
Phân tích
Vế trái đã có sẵn nhân tử.
Vế trái chỉ chứa nên cho ta suy nghĩ phải chuyển
như sau
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Giải
Điều kiện: 17
[
[
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
BÀI TẬP VẬN DỤNG 18
Giải các phương trình sau
Bài 1:
Bài 2: ( )
Bài 3: .
Bài 4:
Bài 5: ( )
Bài 6:
Bài 7: ( ) ( )
Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
Bài 11: Bài 12:
Bài 13:
Bài 14: Bài 15:
Bài 16:
Bài 17:
Bài 18:
Bài 19:
Bài 20:
Bài 21: |
Bài 22: Bài 23:
|
(
)
.
.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
PHẦN 2. PHƢƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
19
BÀI 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Tính chất của lũy thừa
Với
và
( )
;
thì ta có
()
và
Với và
{| |
So sánh các lũy thừa
Khi thì
Khi thì
Hệ quả
• Với thì
• Với và là số tự nhiên lẻ thì
• Với và n là số nguyên khác 0 thì
Ví dụ
1. Tính giá trị của các biểu thức
( )
2. Đơn giản các biểu thức
(
)
()
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
II. Lôgarit
1. Định nghĩa 20
Cho và Số thực để được gọi là
lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là t ức l à
V í dụ
Chú ý: Khi thì được gọi là lôgarit thập phân và
được kí hiệu là
Khi thì thì được gọi là lôgarit tự nhiên và được kí
hiệu là
2. Các tính chất: Cho Khi đó
•
• ()
• ||
Hệ quả:
•
Hệ quả
• So sánh các lôgarit
Khi Khi
Hệ quả
Khi
Khi
thì
thì {
thì
thì {
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
3. Các ví dụ
1. Đơn giản các biểu thức 21
2. Giải phương trình
( )
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
BÀI 2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ
I. Sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng
{
Ví dụ 1
Giải phương trình
22
2 x x2 sin
2 x x2
2 3 cos x
Giải: Phương trình được biến đổi về dạng:
1 x 2(*)
2 x x 2 0
2 x x21 sin x 2 3 cos x 0x2 x1 0(1)
sin x 3 cos x 2(2)
Ta có
(
)
Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có:
{ }
Ví dụ 2 Giải phương trình
x33x5x2x2 6x 9xx4
2
2
ĐS: x=4; x=5
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
II. Sử dụng lôgarit hóa và đƣa về cùng cơ số
1. Phƣơng pháp:
Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo
cùng 1 cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có các dạng:
Dạng 1: Phương trình:
23
a f x b
0 a 1,b 0
f x log b
Dạng 2: Phương trình :
a
a fx bg(x) loga a f (x) loga b f (x) f (x) g(x).loga b
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải phương trình
Giải a.
b.
( )
[
Ví dụ 2. Giải phương trình
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
III. Đƣa về dạng tích
24
Ví dụ 1 a.
b.
Giải a.
Điều kiện :
*
*
V ậy
b.
Điều kiện :
(
)
[
Giải (2)
( )
( )
V ậy
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Ví dụ 2 25
a.
b.
IV. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1 a.
b.
c.
Giải a.
Điều kiện :
Đặt
* [
V ậy
b.
Điều kiện :
( ) ( )
( )
* [
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Ví dụ 2 26
a.
b.
c. 4x
Giải a.
23x2
4x 2 6 x5
42x
23 x 7
1
Điều kiện :
Đặt
Thế vào (1) ta được
V ậy b.
Điều kiện :
Đặt
Xét hàm
đồng biến trên . Do đó (2) có nhiều nhất 1 nghiệm.
Ta có là nghiệm của (2)
V ậy
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
c. Viết lại phương trình dưới dạng:
4x
23x2
42x 2 6 x5
4x
23x2 .42x
2 6 x5
1
27
Đặt
u 4 x 23 x 2
, u, v 0
v 4
2 x2 6 x5
Khi đó phương trình tương đương với:
u v uv1u11 v 0
x 1
x 2
u1
4 x 23 x 2 1
x 3x 2 0 2
v 1
2 x2 6 x5
2
4
12 x 6 x 5
x1
Vậy phương trình có 4 nghiệm.
Ví dụ 3
x5
a.( ) ( )
b.
c.
d.
V. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1 a.
b.
Giải
a.
Điều kiện :
() ()
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Xét hàm
()
()
()
()
28
nghịch biến trên . Do đó (2) có nhiều nhất một
nghiệm.
Ta có là nghiệm của (2)
V ậy b.
Điều kiện :
+) không phải là nghiệm của (1)
+) t a có
Xét hàm () ()
nghịch biến trên . Do đó (2) có
nhiều nhất 2nghiệm.
Ta có
nghiệm của (2).
V ậy
Ví dụ 2
Giải phương trình
a.
b.
là
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
BÀI 3. PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT
29
I. Đƣa về cùng cơ số
Phƣơng pháp
Dạng 1: Phương trình: loga f (x) b
0 a 1
Dạng 2: Phương trình:
Ví dụ 1 Giải phương trình a.
b.
Giải
{
(
{
f x ab
)
Phương trình tương đương với
( )
*
*
[
*
[
(
(
)
(
)
)]
Vậy nghiệm của phương trình là
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Phương trình đã cho tương đương với
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 2 Giải phương trình
30
Ví dụ 3 a.
b.
Giải a.
Điều kiện :
(
(
)
)
Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
( )
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
V ậy
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
31
b. ( )
Điều kiện :
Phương trình đã cho tương dương với
( )
Đặt thế vào (2) ta được
V ậy
II. Nhóm nhân tử chung
Ví dụ 1 a.
b.
Giải a.
Điều kiện :
Phương trình đã cho tương đương với
[
*
V ậy
b.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Điều kiện :
Phương trình đã cho tương đương với 32
[ [
Ví dụ 2
a. b.
III. Đặt ẩn phụ
Ví dụ 1 a.
b.
c.
Giải a.
Điều kiện :
Đặt
, thế vào (1) ta được
() ()
Xét hàm () ()
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
()
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
()
33
nghịch biến trên . Do đó (2) có nhiều nhất 1 nghiệm.
Ta có là nghiệm của (2)
Với .
V ậy
b. Điều kiện :
Phương trình đã cho tương đương với
( )
( )
Đặt
, thế vào (2) ta được
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
V ậy
c. Điều kiện :
Đặt thế vào (1) ta được
.
V ậy { }
Ví dụ 2 a.
b.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Giải 34
a. Điệu kiện
Đặt { Thế vào hệ trên ta được
* [ *
{
Biến đổi phương trình về dạng:
Đặt { Thế vào hệ trên ta được
* [
[
Vậy nghiệm của phương trình là
Ví dụ 3
a. log23 x 5log3 x 6 0
b. ( ) ( )
d. x2 3log2 x xlog2 5
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
35
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Giải phương trình 1.
2.
3.
4.
5.
6.
()
Bài 2. Giải phương trình
1.
2.
3.
4.
5.
Bài 3. Giải phương trình
1.
2. 3.
4. 7 3 5 x 7 3 5
x
x
14.2x
x
5.
4 15
4 15
8
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1. log3 x logx 9 3
2.
3.
4.
log2 (2x1).log4 (2x1 2)1
log22 x 3.log2 x 2 0
log3x (9x) log x (3x) 1
3
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
5.
6.
7.
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
x.log5 3 log5(3x 2) log5(3x1 4)
4log3 x xlog3 2 6
log23 x (x12).log3 x11 x 0
36
8.
3log3 x xlog3 x 6 2
9. 3.log3(x 2) 2.log2(x1)
10. log22 x 3.log2 x 2 log2 x2 2
11. log2 x.log3 x x.log3 x 3 log2 x 3log3 x x
12. xlog3 4 x2.2log3 x 7.xlog3 2
13. log22 (4x) log 2 (2x) 5
14. log3(log27 x) log27 (log3 x) 1
3
15. log2 x.log3 x 3 3.log3 x log2 x
16. log3(2x 2) log3(2x1) log3(2x2 6)
17. 6.9log2 x 6.x213.xlog2 6
18. x.log22 x 2(x1) log2 x 4 0
Bài 5. Tìm m để phương trình log 2 (x 2) log2 (mx) có
nghiệm duy nhất.
Bài 6. Tìm m để phương trình : log22 x log2 x2 3 m có
nghiệm x[1;8]
Bài 7. Tìm m để phương trình : log2 (4x m) x1 có đúng 2
nghiệm phân biệt.
Bài 8. Cho phương trình : log2 x (m 2) log3 x 3m1 0 . 3
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1x2 27 .
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Phần 3. HÌNH GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Bài 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN Vấn đề 1. Không gian tọa độ
I. Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau được gọi
là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian
Kí hiệu : Oxyz
• Điểm O gọi là gốc tọa độ
• Trục Ox : gọi là trục hoành
• Trục Oy : gọi là trục tung • Trục Oz : gọi là trục cao
• Véctơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ⃗ ⃗ ⃗⃗.
37
Khi đó : | ⃗| | ⃗| = | ⃗⃗| ; ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗
Và hệ trục còn được kí hiệu là : (O ; ⃗ ⃗ ⃗⃗)
II. Tọa độ của véctơ - Tọa độ của điểm
Trong không gian với hệ trục (O ; ⃗ ⃗ ⃗⃗), cho véctơ ⃗⃗.
Khi đó :
Nếu ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ thì bộ ba số được gọi là
tọa độ của ⃗⃗ .( bộ ba số là duy nhất )
Kí hiệu : ⃗⃗ hay ⃗⃗
Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ thì ta nói là tọa độ của
điểm M.
Kí hiệu :
• gọi là hoành độ.
• gọi là tung độ.
• gọi là cao độ.
Lưu ý :
Cho hai véctơ ⃗ ; ⃗⃗ và số thực
k . Khi đó :
• ⃗ ⃗⃗
• ⃗ ⃗⃗
• k. ⃗
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
• | ⃗| • ⃗ ⃗⃗
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
⃗⃗ ⃗⃗
38
•
•⃗
( ⃗ ⃗⃗)
⃗⃗
{
| ⃗⃗| |⃗⃗|
D(
• ⃗ ⃗⃗
Cho điểm A(
). Khi đó :
• ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ; B(
⃗
; ( với
⃗⃗
) ; C(
);
)
•
• M là trung điểm của AB thì M ( )
• G là trọng tâm tam giác ABC thì
( )
• I là trọng tâm của tứ diện ABCD thì
( )
III. Tích có hƣớng của hai véctơ và ứng dụng
1.Định nghĩa:
Cho hai véctơ ⃗ ; ⃗⃗ .
Khi đó : tích có hướng của hai véctơ ⃗ và ⃗⃗ là một véctơ, kí
hiệu : [ ⃗ ⃗⃗] và
[ ⃗ ⃗⃗] | || || |
Lƣu ý :
• [ ⃗ ⃗⃗] ⃗ [ ⃗ ⃗⃗] ⃗⃗
• |[ ⃗ ⃗⃗]| | ⃗| |⃗⃗| ⃗ ⃗⃗
2.Ứng dụng :
• ⃗ ⃗⃗ cùng phương [ ⃗ ⃗⃗] = ⃗⃗.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
• ⃗ ⃗⃗ ⃗ đồng phẳng
• Diện tích
[ ⃗ ⃗⃗]. ⃗ = 0.
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.
39
• Diện tích hình bình hành ABCD : | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.
• Thể tích tứ diện ABCD: |[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|.
• Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' :
|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
IV. Vài lƣu ý cần nhớ:
1.Ba điểm A, B, C không thẳng hàng [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗.
2.4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗].⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3.H là trực tâm của tam giác ABC { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
4.K là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
5.I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
{
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗
6.D(E) là chân đường phân giác trong ( ngoài ) kẻ từ A của tam
giác ABC:
Sử dụng đẳng thức : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗), từ đó suy
ra tọa độ điểm D, E.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Vấn đề 2 : Phƣơng trình mặt cầu
I. Phƣơng trình mặt cầu
1.Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R:
2.Phương trình mặt cầu còn được viết dưới dạng khác như sau
40
với
và
Khi đó : mặt cầu (S) có tâm I(a ;b ;c) và bán kính
II. Điều kiện tiếp xúc giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu (S) có tâm I , bán kính R và mặt phẳng (P) :
Khi đó : (S) tiếp xúc với (P) ( )
Vấn đề 3 : Phƣơng trình mặt phẳng
I. Phƣơng trình mặt phẳng
1.Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng:
a. Định nghĩa : Cho ⃗⃗ ⃗⃗
Khi đó : véctơ ⃗⃗ có giá vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi
là một VTPT của mặt phẳng (P) .
b. Lưu ý:
Véctơ ⃗⃗ là VTPT của (P) thì k. ⃗⃗ (k 0 ) cũng là VTPT của
(P). Vì vậy (P) có vô số VTPT.
Cho hai véctơ ⃗ ⃗⃗ không cùng phương. Khi đó : nếu ⃗ ⃗⃗ có
giá song song hoặc nằm trên (P) thì (P) có VTPT ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ .
⃗⃗
Ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì (ABC) có VTPT
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
2.Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng :
a. Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm và có một
VTPT ⃗⃗
(P) :
Lưu ý :
một VTPT là ⃗⃗
thì phương trình tổng quát của
với A2 + B2 + C2 > 0 thì (P) có
.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Cho điểm A(a ;0 ;0), B(0 ;b ;0), C(0; 0; c), với a.b.c
được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
(Oxy): z = 0 ; (Oxz): y = 0; (Oyz): x = 0.
II. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng
0 thì
41
Cho hai mặp phẳng : (P) : và (Q) :
Khi đó :
thì (P) cắt (Q).
thì (P) // (Q).
thì (P) (Q).
( với A'.B'.C'.D' 0)
Lƣu ý :
II. Góc giữa 2 mặt phẳng :
Cho hai mặp phẳng : (P) : và (Q) :
.
Gọi là góc giữa hai mp (P) và (Q), với Khi đó
: | ⃗⃗ ⃗⃗ | = ||⃗⃗⃗⃗ | ⃗|⃗⃗⃗ ||
III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng :
Cho điểm và mặt phẳng (P):
. Khi đó :
| |
( )
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Vấn đề 4. Các ví dụ mẫu
42
Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz cho ba điểm
a) Chứng minh rằng : ba điểm A,B,C không thẳng hàng. Tính
diện tích của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thỏa : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗.
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ACBD là một hình bình hành. Tìm tọa độ tâm của hình bình hành.
d) Tính độ dài đường trung tuyến và đường cao kẻ từ B của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC.
Giải:
a. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Khi đó: [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗
Suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương
Hay A, B, C không thẳng hàng.
|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]|
b. Gọi M(x,y,z)
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Khi đó : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Vậy M(-4;-9;4) c. Gọi D(x;y;z)
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{
ACBD là một hình bình hành ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ {
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Vậy D(4;8;-3)
Gọi I là tâm hình bình hành suy ra I là trung điểm AB 43
( )
d. Gọi N là trung điểm của AC
( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( )
Gọi K là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC
Ta có:
e. Gọi H(x;y;z) Ta có :⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (
)
H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC nên
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{
{ {
( )
Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz cho ba điểm
a) Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho M cách đều hai điểm
B và C.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
b) Tìm tọa độ điểm N thuộc mp (Oxy) sao cho N cách đều ba 44
điểm A, B và C.
c). Tìm tọa độ điểm là giao điểm của và
d) Tìm tọa độ điểm F thuộc mp (Oxy) sao cho FA + FC nhỏ nhất.
Giải a.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mà M cách đều hai điểm B và C nên
Vậy M( ).
b.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Mà N cách đều ba điểm A, B và C nên
{ { {
V ậy : ( )
c. Ta có :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Và nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương, với {⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Tức là
{ ( )
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
d. Nhận xét : A, C nằm về hai phía đối với mp (Oxy)
Khi đó: FA + FC AC
Hay FA + FC nhỏ nhất khi A,C,F thẳng hàng ( hay F là giao
điểm của AC và mp (Oxy))
45
Và nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương, với
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hay
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
{
{
V ậy
⃗⃗, với [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm
a) Chứng minh rằng : bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ
diện.
b) Tính thể tích và độ dài đường cao kẻ từ B của tứ diện ABCD.
c). Tìm tọa độ điểm E là chân đường cao kẻ từ A của tứ diện
ABCD.
Giải
a. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
và [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
Khi đó : [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không đồng phẳng hay 4 điểm A,B,C, D tạo
thành một tứ diện.
b. Gọi BH là đường cao kẻ từ B của tứ diện ABCD.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
|
|
46
Ta có : [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
Mà
c. Gọi
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Và [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
suy ra
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
E là chân đường cao kẻ từ A của tứ diện ABCD nên
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{ {
( )
Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz cho ba điểm
và mp (Q) :
phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. c) (P) đi qua A và song song với (Q).
d) (P) đi qua A,O và song song với đường thẳng BC. e) (P) đi qua A và song song với (Q).
f) (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
Viết
g) (P) chứa điểm C và vuông góc với hai mp (Q), (Oxy).
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Giải:
a. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
47
(P) đi qua ba điểm A, B, C nên (P) có một VTPT [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
Suy ra (P):
hay
b. Gọi I là trung điểm của AB suy ra
(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên (P) qua I và
có một VTPT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hay (P):
c. (P)//(Q) suy ra (P) :
Mà
Vậy : (P) :
d. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
hay
(P) đi qua A,O và song song với đường thẳng BC nên (P) có
một VTPT [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]
Vậy : (P):
e. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ và (Q) có VTPT ⃗⃗
(P) đi qua A, B và vuông góc với (Q) nên (P) có một VTPT
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗]
Vậy : (P) :
g. (Q) có VTPT ⃗⃗
(Oxy) có VTPT ⃗⃗
Ta có : (P) vuông góc với hai mp (Q), (Oxy) nên (P) có một
VTPT [⃗⃗ ⃗⃗]
Vậy : (P) :
Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;5;0) và mặt
phẳng (P): .
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). b) Tìm tọa độ điểm A' là điểm đối xứng với A qua (P).
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Giải
a. Gọi H(x;y;z)
(P) có VTPT ⃗⃗
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
48
Khi đó : H là hình chiếu vuông góc của A lên (P)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗
{
{
{ {
Vậy : H(-1;-1;2)
b. Gọi : A'(x';y';z')
A' là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của
AA'. Suy ra
{ {
Vậy : A'(-5;-7;4)
Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có
Viết phương trình mặt
phẳng (P) đi qua A, B sao cho d(C,(P)) = d(D,(P)).
Giải :
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
• Trường hợp 1: A, B nằm cùng phía đối với mp (P)
Khi đó : (P) có một VTPT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Hay (P) :
• Trường hợp 2 : A, B nằm khác phía đối với mp (P)
Khi đó (P) sẽ đi qua trung điểm I của AB, I(1 ;1 ;1)
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Suy ra : (P) có một VTPT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Hay (P):
Cách làm khác :
49
Gọi ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗.
Khi đó (P) qua A và có một VTPT ⃗⃗ suy ra
(P):
Ta có :
Theo giả thuyết
( )
| | | | [
Với
Với
Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3),
B(2;0;-1) và mặt phẳng (P) :
điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC đều.
Giải : Gọi C(x;y;z). Ta có :
{
{
{
Từ ( 2) suy ra :
. Tìm tọa độ
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Thế vào (2) ta được
50
Thế và vào (1) ta được :
*
V ậy : ( )
Ví dụ 8. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp : a. (S) đi qua ba điểm A(1;2;4), B(1;-3;-1), C(2;2;-3) và có tâm
thuộc mp (Oxy).
b. (S) đi qua bốn điểm A(1;5;3), B(4;2;-5), C(5;5;-1), D(1;2;4).
Giải : a.
Phương trình (S):
(với điều kiện: ). Ta có:
{ { {
( thỏa điều kiện).
Vậy : (S) :
b. Phương trình (S) có dạng :
(với điều kiện: ) . T a có :
{ {
{
( thỏa điều kiện)
Vậy: (S) :
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;0;1); B(-
1;1;2); C(-1;1;0); D(2;-1;-2)
a)Chứng minh rằng : A, B, C không thẳng hàng. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
51
b) Tìm tọa độ điểm M biết : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
d) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong kẻ từ C của tam giác
ABC.
f) Chứng minh rằng : A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện. g) Tính độ dài đường cao kẻ từ B của tứ diện ABCD.
h) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc E của A lên mp (BCD). i) Tính côsin của góc tạo bởi 2 đường thẳng AB và CD.
Bài 2. Xét vị trí tương đối của cặp mặt phẳng sau :
a)
Bài 3. Cho hai mặt phẳng
Với giá trị nào của m thì : a)(P)//(Q).
b) (P) cắt (Q).
c) (P) (Q).
và và và
và
Bài 4. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P):
và (Q): .
Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao
cho khoảng cách từ điểm O đến (R) bằng
Bài 5. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1;0;0), B (0;b;0),
C(0;0;c), trong đó b,c dương và (P): . Tìm b, c biết
(ABC) (P) và d(O,(ABC)) = .
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Bài 6. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2;0;1), B(0;-2;3) 52
và mặt phẳng (P) : . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P)
sao cho MA = MB = 3.
Bài 7. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1),
C(-2;0;1) và mặt phẳng (P) : . Tìm tọa độ điểm
M thuộc (P) sao cho MA = MB = MC.
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;0;0), B(0;0;1) a)Viết phương trình mp (P) đi qua A, B và cắt trục tung tại điểm
C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng .
b) Viết phương trình mp (P) đi qua A, B và tạo với mp (Oxy)
một góc 300.
Bài 9. Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;-1;1), N(1;1;1).
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và cắt ba tia Ox, Oy,
Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = 2.OB = 3.OC.
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua N và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất.
Bài 10. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau a)(S) có tâm I(-1;2;3) và có đường kính bằng 10.
b) (S) có đường kính MN, với M(1;-2;3), N(-1; 4;1)
c) (S) đi qua 2 điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.
d) (S) đi qua 4 điểm A(0;1;0), B(4;-1;-4), C(1;-1;2), D(2;3;1).
e) (S) đi qua 3 điểm A(1;2;-4),B(1;-3;1),C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp (Oxy).
f) (S) có tâm I(3;-5;-2) và tiếp xúc với mp
(P):
g) (S) có bán kính bằng R = 3 và tiếp xúc với mp (P):
tại điểm M(1;1; - 3).
Bài 11. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) :
và điểm A(4;4;0).
Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và
tam giác OAB đều.
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân
Bài 12. Trong không gian Oxyz cho mp (P):
và mặt cầu (S):
Chứng minh rằng : (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường
tròn. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Bài 13. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;-2;-4);
B(2;3;4); C(3;5;7). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC.
53
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
Mới đây nhất thì có: Giải các câu lượng giác trong các kỳ thi đại học khối A A1 B D các năm và Bảng Công Thức Lượng Giác Cơ Bản - Đặng Trung Hiếu
Không có nhận xét nào:
Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.