728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Phương trình lượng giác, mũ lôgarit và hình học giải tích của Bồ Xuân Hậu

Mời tất cả các bạn yêu thích toán học cùng tham khảo bài viết Phương trình lượng giác, mũ lôgarit và hình học giải tích của Bồ Xuân Hậu.
Trước hết, cũng xin giới thiệu mấy chủ đề liên quan nhất, về phương trình lượng giác bạn đọc có thể xem:  chuyên đề LƯỢNG GIÁC ôn thi đại học của Nguyễn Đức Thắng
Còn về chủ đề mũ logarit thì có thể xem:  Chuyên đề Phương trình - Hệ phương trình 2015 của MathsCope
Trở lại với chuyên đề của Thầy Bồ Xuân Hậu, bạn có thể xem trực tiếp:


  Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015  1
KHÓA 12 THÁNG 













THÁNG 4 
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 
MŨ, LOGARIT 
VÀ 
HÌNH GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN 














Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG. 
ĐT: 0975.050.027 
FACEBOOK: facebook.com/nobi39 
PAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán "Mỗi tuần một chuyên đề" 

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


LỜI NÓI ĐẦU  2

Các em thân mến. 
Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn 
rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng của thời học sinh.Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của 
cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai của các em. 
Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách 
khó khăn của cuộc sống.Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy 
nghĩ bồng bột, lười nhác 
Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán. 
Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên của cuộc đời một cách dễ dàng hơn. 
Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi 
sai sótcác em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá. 
Chúc các em học tốt. 












Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG. 
ĐT: 0975.050.027 
FACEBOOK: facebook.com/nobi39 
PAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán "Mỗi tuần một chuyên đề" 

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

PHẦN 1. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC 
3
BÀI I: CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 
I. Công thức cộng 














II. Công thức nhân đôi 







III. Công thức biến đổi tổng thành tích 














HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


IV. Công thức tích thành tổng  4









V. Một số công thứ cơ bản 


 ( )  ( )

























HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

BÀI 2: PT LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN 
5
I. Phƣơng trình bậc nhất của sin và cos 


Điều kiện phương trình có nghiệm: 
Phương pháp: 


  





II. Phƣơng trình đẳng cấp bậc 2 


Phương pháp: 
• Thế vào (1) 
•



III. Phƣơng trình đối xứng 


Phương pháp: 
Đặt   ( )||  



Thế vào (1), giải phương trình theo t. 






HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

III. Một số ví dụ 
6

Ví dụ 1 
Giải phương trình 



Phân tích 
Phương trình có chứa  , ta thường đưa về dạng cơ bản I. 
Giải 


Điều kiện: { 

{


  
( )


[


Kết hợp với điều kiện ta được 




Ví dụ 2 
Giải phương trình 




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 





tiên. 
 



Phân tích 
Trong (1) có 




có thể giảm ước 
Giải 
Điều kiện: { 



[
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


là đặc biệt, nên tập trung phân tích nó đầu 




ở 2 vế. 







 




7
 

[


Kết hợp với điều kiện ta được 




Ví dụ 3 
Giải phương trình 




Phân tích 
Trong (1) có  là đặc biệt, nên tập trung 
phân tích nó đầu tiên. 





có thể giảm ước  .

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Giải 
8
Điều kiện: {  {



 



[






[
Kết hợp với điều kiện ta được 




Ví dụ 4 
Giải phương trình 


( ) ( )



Giải 


( )
Điều kiện: 
( )

{


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


9
( )



Đặt  Thế vào trên ta được 


[

Với 
Kết hợp điều kiện ta được 


























HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

BÀI 3: MỘT SỐ DẠNG THƢỜNG GẶP 

I. Phƣơng trình chứa điều kiện mẫu số. 


Ví dụ 1 
Giải phương trình 




Phân tích 
Đây là phương trình dễ, nhưng chú ý điều kiện mẫu số. 
Giải 
 




10 
 

Điều kiện: { 
 



 

{
 






[






[
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình 









HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Ví dụ 2  11 
Giải phương trình 




Phân tích 
Pt đối xứng, đưa về dạng tổng tích. Chú ý điều kiện mẫu. 
Giải 

Điều kiện:   {
 






Kết hợp điều kiện ta được 
II. Phƣơng trình chứa tan, cot. 


Ví dụ 1 
Giải phương trình 



Phân tích 
Trong (1) có 
phân tích nó đầu tiên. 
 







,










là đặc biệt, nên tập trung 
 






Giải 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Điều kiện: {  12 








[



Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình 
 




Ví dụ 2 
Giải phương trình 



Phân tích 
Trong (1) có 
phân tích nó đầu tiên. 
 











là đặc biệt, nên tập trung 
 





Giải 

Điều kiện: {  {




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


13 





[
Giải (2) 



Giải (3) 

(vô nghiệm) 
Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của phương trình 



III. Phƣơng trình đƣa về dạng tích. 


Ví dụ 1 
Giải phương trình 


Phân tích 
Chú ý: phân tích 
Giải 
Điều kiện: 




[




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


14 
[

[




Ví dụ 2 
Giải phương trình 


Phân tích 
Phân tích  trước tiên,  tùy theo từng bài mà đưa về 
các công thức thích hợp. 
Giải 
Điều kiện: 







[
 




Ví dụ 3 
Giải phương trình 



Phân tích 
Trong (1) có 
tích nó đầu tiên. 
 










là đặc biệt, nên tập trung phân 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


15 


Giải 
Điều kiện: { 








[


Giải (2) 


Giải (3) 
Đặt   ( )||  



Thế vào (1), ta được 





  (loại) 

 
Với 
 

 




 
(
 


 
)
 

 

[ 
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Ví dụ 4  16 
Giải phương trình 




Phân tích 
Phương trình dạng đưa về tích, chú ý điều kiện mẫu số. 
Phân tích  trước tiên,  tùy theo từng bài mà đưa về 
các công thức thích hợp. 

Giải 
Điều kiện:  {






[



[




Ví dụ 4 
Giải phương trình 


Phân tích 
Vế trái đã có sẵn nhân tử. 
Vế trái chỉ chứa  nên cho ta suy nghĩ phải chuyển 
như sau 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Giải 
Điều kiện:  17 



[






[



























HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


BÀI TẬP VẬN DỤNG  18 
Giải các phương trình sau 
Bài 1: 
Bài 2:  ( )
Bài 3:   .

Bài 4: 
Bài 5:  ( )
Bài 6: 
Bài 7:  ( ) ( )
Bài 8: 
Bài 9: 
 
Bài 10: 
Bài 11: Bài 12: 
Bài 13: 
Bài 14: Bài 15: 
Bài 16: 
Bài 17:  
Bài 18: 
Bài 19: 
Bài 20: 
Bài 21: | 
Bài 22: Bài 23: 
 















|
 
















 











 













(
 












)
 









.
 














 






.
 





HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

PHẦN 2. PHƢƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT 
19 
BÀI 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN 

I. Tính chất của lũy thừa 
 
Với 








 







 









 







 
và 







( ) 
 







 






;
 
thì ta có 



() 

và 

 
 









 
Với  và 

 {| | 
So sánh các lũy thừa 
Khi  thì 
Khi  thì 
Hệ quả 
• Với  thì 



• Với  và  là số tự nhiên lẻ thì 

• Với  và n là số nguyên khác 0 thì 

Ví dụ 
1. Tính giá trị của các biểu thức 
 

( ) 
 

 


 


 


 


 
2. Đơn giản các biểu thức 

 
(
 



 

 
)
 



 


 
() 
 

 

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

II. Lôgarit 
1. Định nghĩa  20 
Cho  và  Số thực để  được gọi là 
lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là  t ức l à 

V í dụ 


Chú ý: Khi  thì  được gọi là lôgarit thập phân và 
được kí hiệu là 
Khi  thì thì  được gọi là lôgarit tự nhiên và được kí 
hiệu là 
2. Các tính chất: Cho  Khi đó 
•
• () 
• || 
Hệ quả: 

•
Hệ quả 




• So sánh các lôgarit 
 
Khi Khi 
Hệ quả 
Khi 

Khi 
 
thì 



thì { 
 

thì 




thì { 
 




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

3. Các ví dụ 
1. Đơn giản các biểu thức  21 








2. Giải phương trình 
( )



























HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

BÀI 2. PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH MŨ 

I. Sử dụng phép biến đổi tƣơng đƣơng 
{



Ví dụ 1 
Giải phương trình 
 




22 
 
2 x x2 sin 
 
 2 x x2 
 

 
2 3 cos x 
 


Giải: Phương trình được biến đổi về dạng: 
1 x 2(*) 
 
2 x x 2 0 
 

 

 
 2 x x21 sin x 2 3 cos x 0x2 x1 0(1) 
 

 

 

 

 

 
sin x 3 cos x 2(2) 
 
Ta có 





(
 







)
 

 
Để nghiệm thoả mãn điều kiện (*) ta phải có: 



{ }



Ví dụ 2 Giải phương trình 
 
x33x5x2x2 6x 9xx4 
 
2
 
2
 
ĐS: x=4; x=5 

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


II. Sử dụng lôgarit hóa và đƣa về cùng cơ số 
1. Phƣơng pháp: 
Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo 
cùng 1 cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có các dạng: 
Dạng 1: Phương trình: 
 




23 
 

a f x b
 
0 a 1,b 0 
 

 
 f x log b 
 

Dạng 2: Phương trình : 
 
a
 
a fx bg(x) loga a f (x) loga b f (x) f (x) g(x).loga b 
2. Các ví dụ 

Ví dụ 1. Giải phương trình 



Giải a. 



b. 
( )





[



Ví dụ 2. Giải phương trình 




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

III. Đƣa về dạng tích 
24 

Ví dụ 1 a. 
 
b. 

Giải a. 
 

 

 
Điều kiện : 




*

*
V ậy 
 
b. 
 

 

 
Điều kiện : 


 




(
 





 




)
 

[
 



 
Giải (2) 

(  )



( )


 
V ậy 

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Ví dụ 2  25 
a. 
b. 


IV. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ 


Ví dụ 1 a. 
b. 
c.   

Giải a. 
Điều kiện : 
Đặt 


* [

V ậy 
b.   
Điều kiện : 
 
( ) ( )


( )



* [




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Ví dụ 2  26 
a.    
b. 
 
c. 4x 

Giải a.  
 
23x2 
 
 4x 2 6 x5 



 
 42x 
 
23 x 7 




 
1 
 
Điều kiện : 
  
Đặt   
 
Thế vào (1) ta được 









V ậy b. 
Điều kiện : 
Đặt 






Xét hàm 

đồng biến trên . Do đó (2) có nhiều nhất 1 nghiệm. 
Ta có  là nghiệm của (2) 
V ậy 

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

c. Viết lại phương trình dưới dạng: 
 
4x 
 
23x2 
 
 42x 2 6 x5 
 
 4x 
 
23x2 .42x 
 
2 6 x5 
 
1 
 
27 
 

Đặt
 
u 4 x 23 x 2 
 
 , u, v 0 
 
v 4 
 
2 x2 6 x5 
 
Khi đó phương trình tương đương với: 
u v uv1u11 v 0 
x 1 
x 2 
 

 
u1 
 
 4 x 23 x 2 1 
 
 x 3x 2 0 2
 
v 1 
 
 2 x2 6 x5 
 
 2 
 

 
4 
 
 12 x 6 x 5 
 
x1 
 

Vậy phương trình có 4 nghiệm. 


Ví dụ 3 
 

x5 
 
a.(   )  (  ) 
b. 
c. 
d. 


V. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 


Ví dụ 1 a. 
b. 
Giải 
a. 
Điều kiện : 
()  () 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 
 


Xét hàm 
 




() 
 


() 

() 
 


() 
 


28 
 
nghịch biến trên . Do đó (2) có nhiều nhất một 
nghiệm. 
Ta có  là nghiệm của (2) 
V ậy b. 
Điều kiện : 


+)  không phải là nghiệm của (1) 
+)  t a có 



Xét hàm  ()  () 



nghịch biến trên  . Do đó (2) có 
 
nhiều nhất 2nghiệm. 
Ta có 
nghiệm của (2). 
V ậy 


Ví dụ 2 
Giải phương trình 
a. 
b. 
 


là 
 







HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

BÀI 3. PHƢƠNG TRÌNH LÔGARIT 
29 
I. Đƣa về cùng cơ số 
Phƣơng pháp 
 

Dạng 1: Phương trình: loga f (x) b
 
0 a 1 
 

 

Dạng 2: Phương trình: 




Ví dụ 1 Giải phương trình a. 
b. 


Giải 

{

 








( 
 



{
 
 f x ab 







)
 
Phương trình tương đương với 
(  )
 



*


*

[

*
 

[




( 
 










 




( 
 






)
 

( 
 




)
 

)] 
 
Vậy nghiệm của phương trình là 



HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Phương trình đã cho tương đương với 



Vậy nghiệm của phương trình là 



Ví dụ 2 Giải phương trình 


 




30 
 






Ví dụ 3 a. 
b. 



Giải a. 
Điều kiện : 
 















 









( 
 
















 














(
 








)





 














)
 
Phương trình đã cho tương đương với 


( ) 


( ) 
( )
 




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 




V ậy 
 




 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 



 




31 
 
b.  (   )
Điều kiện : 
Phương trình đã cho tương dương với 


 
(  )
Đặt   thế vào (2) ta được 





V ậy 
II. Nhóm nhân tử chung 


Ví dụ 1 a. 
b. 


Giải a. 
Điều kiện : 
Phương trình đã cho tương đương với 



[

*
V ậy 
b. 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Điều kiện : 
Phương trình đã cho tương đương với  32 





[ [






Ví dụ 2 
a. b. 


III. Đặt ẩn phụ 


Ví dụ 1 a. 
b.   
c. 

Giải a. 
Điều kiện : 
Đặt 
, thế vào (1) ta được 


()  () 

Xét hàm  ()  () 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 




() 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


() 
 




33 
 
nghịch biến trên  . Do đó (2) có nhiều nhất 1 nghiệm. 
Ta có  là nghiệm của (2) 
Với  .
V ậy 
b. Điều kiện : 
Phương trình đã cho tương đương với 


(  )
(  )
Đặt 
, thế vào (2) ta được 
(  )
(  )
(  ) (  ) (  )
(  ) (  )
(  ) (  )
V ậy 
c. Điều kiện : 
Đặt  thế vào (1) ta được 


 .
V ậy  {   }


Ví dụ 2 a. 
b. 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Giải  34 
a. Điệu kiện 
Đặt {  Thế vào hệ trên ta được 



* [ *


{

Biến đổi phương trình về dạng: 




Đặt {  Thế vào hệ trên ta được 



* [


[

Vậy nghiệm của phương trình là 


Ví dụ 3 
a. log23 x 5log3 x 6 0 
b.  (  ) (  )



d. x2 3log2 x xlog2 5 



HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


35 
BÀI TẬP VẬN DỤNG 

Bài 1. Giải phương trình 1. 
2. 
3. 
 
4.  
5. 
6. 
 



() 
 

 
Bài 2. Giải phương trình 
1. 
2. 
3. 
4.    
5. 
Bài 3. Giải phương trình 
1. 
 
2. 3. 
 

 



 

 



 
4. 7 3 5 x 7 3 5 
 


 

x
 

 
x
 
 14.2x 

x
 
5. 
 
4 15 
 

 
4 15 
 
8 
 
Bài 4. Giải các phương trình sau: 
1. log3 x logx 9 3 
 
2. 
3. 
4. 
 
log2 (2x1).log4 (2x1 2)1 
log22 x 3.log2 x 2 0 
log3x (9x) log x (3x) 1 
3

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
 




5. 
6. 
7. 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


x.log5 3 log5(3x 2) log5(3x1 4) 

4log3 x xlog3 2 6 
log23 x (x12).log3 x11 x 0 
 




36 
 
8. 
 

3log3 x xlog3 x 6 2
 
9.  3.log3(x 2) 2.log2(x1) 
10.  log22 x 3.log2 x 2 log2 x2 2 
11. log2 x.log3 x x.log3 x 3 log2 x 3log3 x x 
12. xlog3 4 x2.2log3 x 7.xlog3 2 
13. log22 (4x) log 2 (2x) 5 

14. log3(log27 x) log27 (log3 x) 1 
3
15. log2 x.log3 x 3 3.log3 x log2 x 
16. log3(2x 2) log3(2x1) log3(2x2 6) 
17. 6.9log2 x 6.x213.xlog2 6 
18. x.log22 x 2(x1) log2 x 4 0 
Bài 5. Tìm m để phương trình log 2 (x 2) log2 (mx) có 
nghiệm duy nhất. 
Bài 6. Tìm m để phương trình : log22 x log2 x2 3 m có 
nghiệm x[1;8] 
Bài 7. Tìm m để phương trình : log2 (4x m) x1 có đúng 2 
nghiệm phân biệt. 
 
Bài 8. Cho phương trình : log2 x (m 2) log3 x 3m1 0 . 3
Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 sao cho x1x2 27 . 






HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Phần 3. HÌNH GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN 

Bài 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN Vấn đề 1. Không gian tọa độ 
I. Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz 
Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc nhau được gọi 
là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian 
Kí hiệu : Oxyz 
• Điểm O gọi là gốc tọa độ 
• Trục Ox : gọi là trục hoành 
• Trục Oy : gọi là trục tung • Trục Oz : gọi là trục cao 
• Véctơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là ⃗ ⃗ ⃗⃗. 
 




37 
 
Khi đó : | ⃗| | ⃗| = | ⃗⃗|  ; ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ 
Và hệ trục còn được kí hiệu là : (O ; ⃗ ⃗ ⃗⃗) 
II. Tọa độ của véctơ - Tọa độ của điểm 
Trong không gian với hệ trục (O ; ⃗ ⃗ ⃗⃗), cho véctơ ⃗⃗. 
Khi đó : 
Nếu ⃗⃗  ⃗ ⃗ ⃗⃗ thì bộ ba số  được gọi là 
tọa độ của ⃗⃗ .( bộ ba số  là duy nhất ) 
Kí hiệu : ⃗⃗  hay ⃗⃗ 
Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗ ⃗ ⃗⃗ thì ta nói  là tọa độ của 
điểm M. 
Kí hiệu : 

• gọi là hoành độ. 
• gọi là tung độ. 
• gọi là cao độ. 
Lưu ý : 
Cho hai véctơ ⃗  ; ⃗⃗  và số thực 
k . Khi đó : 
• ⃗ ⃗⃗ 
• ⃗ ⃗⃗ 
• k. ⃗ 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 



• | ⃗| • ⃗ ⃗⃗ 
 




 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 




⃗⃗ ⃗⃗ 
 




38 
 
•


•⃗ 
 
( ⃗ ⃗⃗) 

⃗⃗ 
 


{
 
| ⃗⃗| |⃗⃗| 
 






D( 
 

• ⃗ ⃗⃗ 


Cho điểm A( 
). Khi đó : 
• ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 




) ; B( 
 



⃗
 

; ( với 
⃗⃗ 
) ; C( 
 




); 
 


)
 
• 
• M là trung điểm của AB thì M (  )
• G là trọng tâm tam giác ABC thì 
( )
• I là trọng tâm của tứ diện ABCD thì 
( )
III. Tích có hƣớng của hai véctơ và ứng dụng 
1.Định nghĩa: 
Cho hai véctơ ⃗  ; ⃗⃗  .
Khi đó : tích có hướng của hai véctơ ⃗ và ⃗⃗ là một véctơ, kí 
hiệu : [ ⃗ ⃗⃗] và 
[ ⃗ ⃗⃗]  | ||  ||  |
Lƣu ý : 

• [ ⃗ ⃗⃗] ⃗ [ ⃗ ⃗⃗] ⃗⃗ 
• |[ ⃗ ⃗⃗]| | ⃗| |⃗⃗|  ⃗ ⃗⃗ 
2.Ứng dụng : 
• ⃗ ⃗⃗ cùng phương  [ ⃗ ⃗⃗] = ⃗⃗. 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 
 

• ⃗ ⃗⃗ ⃗ đồng phẳng 
• Diện tích 
 

[ ⃗ ⃗⃗]. ⃗ = 0. 
| ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 
 


39 
 
• Diện tích hình bình hành ABCD :  | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |. 
• Thể tích tứ diện ABCD:  |[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|. 
• Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' : 
|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 
IV. Vài lƣu ý cần nhớ: 
1.Ba điểm A, B, C không thẳng hàng  [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗. 
2.4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗].⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 0. 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
3.H là trực tâm của tam giác ABC  { ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
4.K là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng BC 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
5.I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 

{
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗ 
6.D(E) là chân đường phân giác trong ( ngoài ) kẻ từ A của tam 
giác ABC: 
Sử dụng đẳng thức : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗), từ đó suy 
ra tọa độ điểm D, E. 












HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Vấn đề 2 : Phƣơng trình mặt cầu 

I. Phƣơng trình mặt cầu 
1.Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R: 

2.Phương trình mặt cầu còn được viết dưới dạng khác như sau 
 




40 
 

với 
 

và 
Khi đó : mặt cầu (S) có tâm I(a ;b ;c) và bán kính 

II. Điều kiện tiếp xúc giữa mặt cầu và mặt phẳng 
Cho mặt cầu (S) có tâm I , bán kính R và mặt phẳng (P) : 
 

Khi đó : (S) tiếp xúc với (P)  ( )

Vấn đề 3 : Phƣơng trình mặt phẳng 
I. Phƣơng trình mặt phẳng 
1.Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng: 
a. Định nghĩa : Cho ⃗⃗ ⃗⃗ 
Khi đó : véctơ ⃗⃗ có giá vuông góc với mặt phẳng (P) được gọi 
là một VTPT của mặt phẳng (P) . 
b. Lưu ý: 
Véctơ ⃗⃗ là VTPT của (P) thì k. ⃗⃗ (k 0 ) cũng là VTPT của 
(P). Vì vậy (P) có vô số VTPT. 
Cho hai véctơ ⃗ ⃗⃗ không cùng phương. Khi đó : nếu ⃗ ⃗⃗ có 
giá song song hoặc nằm trên (P) thì (P) có VTPT ⃗⃗  ⃗ ⃗⃗ . 
 

⃗⃗ 
 
Ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì (ABC) có VTPT 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 
2.Phƣơng trình tổng quát của mặt phẳng : 
 
a. Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm  và có một 
 
VTPT ⃗⃗ 
(P) : 
Lưu ý : 

một VTPT là ⃗⃗ 
 
thì phương trình tổng quát của 


với A2 + B2 + C2 > 0 thì (P) có 
.


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Cho điểm A(a ;0 ;0), B(0 ;b ;0), C(0; 0; c), với a.b.c 


được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. 
(Oxy): z = 0 ; (Oxz): y = 0; (Oyz): x = 0. 
II. Vị trí tƣơng đối của hai mặt phẳng 
 



0 thì 
 




41 
 
Cho hai mặp phẳng : (P) :  và (Q) : 


Khi đó : 
 thì (P) cắt (Q). 
 thì (P) // (Q). 
 thì (P)  (Q). 
( với A'.B'.C'.D'  0) 

Lƣu ý : 

II. Góc giữa 2 mặt phẳng : 
Cho hai mặp phẳng : (P) :  và (Q) : 
.
Gọi là góc giữa hai mp (P) và (Q), với  Khi đó 

: | ⃗⃗  ⃗⃗ | = ||⃗⃗⃗⃗ | ⃗|⃗⃗⃗ || 
III. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng : 
Cho điểm  và mặt phẳng (P): 
. Khi đó : 

| |
( )









HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Vấn đề 4. Các ví dụ mẫu 
42 

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz cho ba điểm 

a) Chứng minh rằng : ba điểm A,B,C không thẳng hàng. Tính 
diện tích của tam giác ABC. 
b) Tìm tọa độ điểm M thỏa : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ACBD là một hình bình hành. Tìm tọa độ tâm của hình bình hành. 
d) Tính độ dài đường trung tuyến và đường cao kẻ từ B của tam giác ABC. 
e) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC. 

Giải: 

a. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Khi đó: [ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]  ⃗⃗ 
Suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương 
Hay A, B, C không thẳng hàng. 

|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗]| 
b. Gọi M(x,y,z) 
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (  ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 

Khi đó : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 

Vậy M(-4;-9;4) c. Gọi D(x;y;z) 
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 

{
 





⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 

{
 

ACBD là một hình bình hành  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  {



HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Vậy D(4;8;-3) 
Gọi I là tâm hình bình hành suy ra I là trung điểm AB  43 
( )
d. Gọi N là trung điểm của AC 

( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ( )
Gọi K là chân đường cao kẻ từ B của tam giác ABC 

 
Ta có: 

e. Gọi H(x;y;z) Ta có :⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 


 


 




) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( 
 




)
 
H là chân đường cao kẻ từ C của tam giác ABC nên 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
{⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 


{







{ {
( )



Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz cho ba điểm 

a) Tìm tọa độ điểm M trên trục Oy sao cho M cách đều hai điểm 
B và C. 



HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


b) Tìm tọa độ điểm N thuộc mp (Oxy) sao cho N cách đều ba  44 
điểm A, B và C. 
c). Tìm tọa độ điểm là giao điểm của  và 
d) Tìm tọa độ điểm F thuộc mp (Oxy) sao cho FA + FC nhỏ nhất. 


Giải a. 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Mà M cách đều hai điểm B và C nên 
Vậy M(  ). 
b. 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Mà N cách đều ba điểm A, B và C nên 


{ { {

V ậy : (  )
c. Ta có : 

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Và  nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương, với {⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Tức là 




{ ( )




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

d. Nhận xét : A, C nằm về hai phía đối với mp (Oxy) 

Khi đó: FA + FC AC 
Hay FA + FC nhỏ nhất khi A,C,F thẳng hàng ( hay F là giao 
điểm của AC và mp (Oxy)) 
 




45 
 

Và  nên ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương, với 
 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
{⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Hay 
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 
{

{
V ậy 
 




⃗⃗, với [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 
 


Ví dụ 3 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm 

a) Chứng minh rằng : bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ 
diện. 
b) Tính thể tích và độ dài đường cao kẻ từ B của tứ diện ABCD. 
c). Tìm tọa độ điểm E là chân đường cao kẻ từ A của tứ diện 
ABCD. 
 


Giải 
a. Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
và [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 
Khi đó : [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 




⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 




⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
Suy ra ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không đồng phẳng hay 4 điểm A,B,C, D tạo 
thành một tứ diện. 
b. Gọi BH là đường cao kẻ từ B của tứ diện ABCD. 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 
 


|[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 
 


|
 


|
 


46 
 
Ta có : [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 
Mà 

c. Gọi 
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Và [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 
 



 
suy ra 
 





⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 

 





⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
E là chân đường cao kẻ từ A của tứ diện ABCD nên 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
{ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 






{ {
( )
 



Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz cho ba điểm 
và mp (Q) : 
phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: 
a) (P) đi qua ba điểm A, B, C. 
b) (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. c) (P) đi qua A và song song với (Q). 
d) (P) đi qua A,O và song song với đường thẳng BC. e) (P) đi qua A và song song với (Q). 
f) (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). 
 




Viết 
 
g) (P) chứa điểm C và vuông góc với hai mp (Q), (Oxy). 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 



Giải: 
a. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 




[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 
 




47 
 

(P) đi qua ba điểm A, B, C nên (P) có một VTPT [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 

Suy ra (P): 
hay 
b. Gọi I là trung điểm của AB suy ra 
(P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nên (P) qua I và 
 
có một VTPT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Hay (P): 
c. (P)//(Q) suy ra (P) : 
Mà 
Vậy : (P) : 
d. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 






⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 




hay 
 
(P) đi qua A,O và song song với đường thẳng BC nên (P) có 
một VTPT [⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗] 
Vậy : (P): 
e. Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  và (Q) có VTPT ⃗⃗ 
(P) đi qua A, B và vuông góc với (Q) nên (P) có một VTPT 
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗] 
Vậy : (P) : 
g. (Q) có VTPT ⃗⃗ 
(Oxy) có VTPT ⃗⃗ 
Ta có : (P) vuông góc với hai mp (Q), (Oxy) nên (P) có một 
VTPT [⃗⃗ ⃗⃗] 
Vậy : (P) : 

Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;5;0) và mặt 
phẳng (P):  .
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). b) Tìm tọa độ điểm A' là điểm đối xứng với A qua (P). 



HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 



Giải 
a. Gọi H(x;y;z) 
(P) có VTPT ⃗⃗ 
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 
 




48 
 
Khi đó : H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
{


{


{ {

Vậy : H(-1;-1;2) 
b. Gọi : A'(x';y';z') 
A' là điểm đối xứng với A qua (P) nên H là trung điểm của 
AA'. Suy ra 

{ {

Vậy : A'(-5;-7;4) 


Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD có 
Viết phương trình mặt 
phẳng (P) đi qua A, B sao cho d(C,(P)) = d(D,(P)). 


Giải : 
Ta có : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
• Trường hợp 1: A, B nằm cùng phía đối với mp (P) 
Khi đó : (P) có một VTPT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
Hay (P) : 
• Trường hợp 2 : A, B nằm khác phía đối với mp (P) 
Khi đó (P) sẽ đi qua trung điểm I của AB, I(1 ;1 ;1) 

HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 

Suy ra : (P) có một VTPT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 
Hay (P): 

Cách làm khác : 
 




49 
 

Gọi ⃗⃗  ⃗⃗ ⃗⃗. 
Khi đó (P) qua A và có một VTPT ⃗⃗ suy ra 
(P): 
Ta có : 
Theo giả thuyết 
( )

| | | | [
Với 


Với 




Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), 
 
B(2;0;-1) và mặt phẳng (P) : 
điểm C thuộc (P) sao cho tam giác ABC đều. 


Giải : Gọi C(x;y;z). Ta có : 

{


{



{

Từ ( 2) suy ra : 
 
. Tìm tọa độ 
 


HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Thế  vào (2) ta được 
50 
Thế  và  vào (1) ta được : 

*

V ậy :  ( )



Ví dụ 8. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp : a. (S) đi qua ba điểm A(1;2;4), B(1;-3;-1), C(2;2;-3) và có tâm 
thuộc mp (Oxy). 
b. (S) đi qua bốn điểm A(1;5;3), B(4;2;-5), C(5;5;-1), D(1;2;4). 

Giải : a. 
Phương trình (S): 
(với điều kiện:  ). Ta có: 

{ { {

( thỏa điều kiện). 
Vậy : (S) : 
b. Phương trình (S) có dạng : 

(với điều kiện:  ) . T a có : 


{ {

{
( thỏa điều kiện) 
Vậy: (S) : 





HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 
 


BÀI TẬP VẬN DỤNG 

Bài 1. Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(1;0;1); B(- 
1;1;2); C(-1;1;0); D(2;-1;-2) 
a)Chứng minh rằng : A, B, C không thẳng hàng. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. 
 


51 
 
b) Tìm tọa độ điểm M biết : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗  ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
c) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC. 
d) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
e) Tìm tọa độ chân đường phân giác trong kẻ từ C của tam giác 
 
ABC. 
 

f) Chứng minh rằng : A, B, C , D là bốn đỉnh của một tứ diện. g) Tính độ dài đường cao kẻ từ B của tứ diện ABCD. 
h) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc E của A lên mp (BCD). i) Tính côsin của góc tạo bởi 2 đường thẳng AB và CD. 

Bài 2. Xét vị trí tương đối của cặp mặt phẳng sau : 
 
a) 


Bài 3. Cho hai mặt phẳng 

Với giá trị nào của m thì : a)(P)//(Q). 
b) (P) cắt (Q). 
c) (P) (Q). 
 
và và và 
 




và 
 
Bài 4. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 
và (Q):  .
Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao 
cho khoảng cách từ điểm O đến (R) bằng  
Bài 5. Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1;0;0), B (0;b;0), 
C(0;0;c), trong đó b,c dương và (P):  . Tìm b, c biết 
(ABC) (P) và d(O,(ABC)) = . 



HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Bài 6. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2;0;1), B(0;-2;3)  52 
và mặt phẳng (P) :  . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) 
sao cho MA = MB = 3. 
Bài 7. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), 
C(-2;0;1) và mặt phẳng (P) :  . Tìm tọa độ điểm 
M thuộc (P) sao cho MA = MB = MC. 
Bài 8. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(3;0;0), B(0;0;1) a)Viết phương trình mp (P) đi qua A, B và cắt trục tung tại điểm 
C sao cho tam giác ABC có diện tích bằng . 
b) Viết phương trình mp (P) đi qua A, B và tạo với mp (Oxy) 
một góc 300. 
Bài 9. Trong không gian Oxyz cho điểm M(4;-1;1), N(1;1;1). 
a)Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và cắt ba tia Ox, Oy, 
Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA = 2.OB = 3.OC. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua N và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích của tứ diện OABC nhỏ nhất. 
Bài 10. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau a)(S) có tâm I(-1;2;3) và có đường kính bằng 10. 
b) (S) có đường kính MN, với M(1;-2;3), N(-1; 4;1) 
c) (S) đi qua 2 điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz. 
d) (S) đi qua 4 điểm A(0;1;0), B(4;-1;-4), C(1;-1;2), D(2;3;1). 
e) (S) đi qua 3 điểm A(1;2;-4),B(1;-3;1),C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp (Oxy). 
f) (S) có tâm I(3;-5;-2) và tiếp xúc với mp 
(P): 
g) (S) có bán kính bằng R = 3 và tiếp xúc với mp (P): 
tại điểm M(1;1; - 3). 
Bài 11. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) : 
và điểm A(4;4;0). 
Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và 
tam giác OAB đều. 




HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
 
Bồ Văn Hậu - Đỗ Xuân 


Bài 12. Trong không gian Oxyz cho mp (P): 
và mặt cầu (S): 
Chứng minh rằng : (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường 
tròn. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó. 

Bài 13. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;-2;-4); 
B(2;3;4); C(3;5;7). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC. 
 




53 
 































HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP 
   


Phương trình lượng giác, mũ lôgarit và hình học giải tích của Bồ Xuân Hậu Reviewed by Tân Phúc on 13:41:00 Rating: 5 Mời tất cả các bạn yêu thích toán học cùng tham khảo bài viết Phương trình lượng giác, mũ lôgarit và hình học giải tích của Bồ Xuân Hậu. ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.