728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Vẻ đẹp phần nguyên từ những tính chất cơ bản THPT chuyên ĐHQG Hà Nội

Bài viết Vẻ đẹp phần nguyên từ những tính chất cơ bản THPT chuyên ĐHQG Hà Nội của nhóm tác giả Chu Tuấn Anh, Ngô Việt Hải, Phạm Huy Hoàng, Trần Đăng Phúc, Nguyễn Phan Tài Vương, dưới sự hướng dẫn của thầy Hoàng Ngọc Minh.

ve dep phan nguyen tu nhung tinh chat co ban thpt chuyen dhqg ha noi
Các bài toán về phần nguyên không thể thiếu trong các kỳ thi học sinh giỏi từ các cấp tỉnh thành phố đến quốc gia và quốc tế, ở hình vẻ trên các bạn đã thấy một câu trong kỳ thi Olympic Toán quốc tế 1968 (IMO 1968).
Một số tài liệu số học khác mà chắc chắn bạn không thể bỏ qua: Chuyên đề số học của Nguyễn Văn Thảo
Tài liệu này mở đầu là những khái niệm về phần nguyên, tiếp đó là nêu những ứng dụng của phân nguyên mà nổi bật là định lý Legendre và tính tổng phần nguyên.



Liên kết để tải tài liệu về phần nguyên của nhóm tác giả đến từ ĐHQG Hà Nội: Download (276Kb, Pdf)

Bạn nào thích thêm thì chiêm ngưỡng một viên ngọc quý đó là Tài liệu về chuyên đề số học của VMF

Dạng text:

   Trong các kì thi tuy n ch n h c sinh gi i toàn qu c, qu c t , các bài toán s h c th ng đóng vai trò quan tr ng. Nhi u năm v a qua, nh ng bài toán s h c thư ng là v các bài toán ph n nguyên (như kì thi ch n đ i tuy n toán Vi t Nam năm 2011). Vì v y nhóm h c sinh l p 10A1 Toán chúng em vi t chuyên đ này đ nêu ra các ý ki n, kinh nghi m và m t 
s k t qu v ph n nguyên. Trong chuyên đ chúng em có chia làm các m c sau: 

1. M t s  ng d ng c a đ nh lý Legendre. 

2. M t s bài toán v t ng ph n nguyên. 

3. M t s bài toán ng d ng. 

Tuy chuyên đ đã đư c ch nh s a b i nh ng thành viên trong nhóm cũng như b i th y giáo hư ng d n song khó tránh kh i sai sót. Chúng em xin chân thành c m ơn nh ng đóng góp t các th y cô giáo và các b n h c sinh. M i ý ki n đóng góp g i v đ a ch 
. 


Nhóm 1 l p 10A1 Toán 



1
 
M cl c 

L i gi i thi u  1

1 M t vài ki n th c cơ b n v ph n nguyên  3
1.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31.2 Tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3

2 M ts  ng d ng c a ph n nguyên  4
2.1 Đ nh lý Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . 4
2.1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đ nh lý . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . 4
2.1.2  ng d ng c a đ nh lý Legendre trong các bài toán . . .  . . . . . . . 5
2.2 M t s bài toán v tính t ng ph n nguyên . . . . . . . . . . . .  . . . . . . . 10 
2.2.1 Tính t ng ph n nguyên d a trên nh ng tính ch t cơ b n  . . . . . . . 10 2.2.2 Tính t ng ph n nguyên d a vào tính chia h t . . . . . .  . . . . . . . 13 

3 Tài li u tham kh o  19 

2
 
1 M t vài ki n th c cơ b n v ph n nguyên 

1.1  Đ nh nghĩa 
Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho x là m t s th c. Ta kí hi u s nguyên l n nh t không vư t quá x 
là x , và đ c là "ph n nguyên c a s th c x". 

Đ nh nghĩa 1.1.2. Kí hi x là ph n l c a s th c x. 


1.2  Tính ch t cơ b n 
Nh đ nh nghĩa 1.1.1 ta rút ra đư c nh ng tính ch t cơ b n sau: 

1.  x và t đó ta cũng có đư c hai b t đ ng th c sau: 

(a) 
n n
xi  xi  (1) 
i=1  i=1 
(b) 
n n
xi  xi 
i=1  i=1 
 
2. 
 


x + x + 1 = 2x 
2

Áp d ng đ ng th c (2) ta có k t qu t ng quát sau: 

Đ nh lý 1.2.1 (Đ ng nh t th c Hermite). 
 


(2) 
 

x + x + 1 + x + 2 + ... + x + n 1 = nx 
 
n
 
n
 
n
 


3. Cho a, b là hai s th c th a mãn a + b Z nhưng abZ. Khi đó ta có đ ng th c sau: 

a + b = a + b1.  (3) 


4. Cho a, b là hai s th c th a mãn  Z nhưng a, Z. Khi đó ta có đ ng th c sau: 

b.  (4) 
 


5. Gi s 0 . Lúc đó 
nhưng không vư t quá . 
 


n
 


là s t t c các s nguyên dương là b i c a n 
 




3
 
2 M ts  ng d ng c a ph n nguyên 

2.1  Đ nh lý Legendre 
2.1.1  M t s tính ch t cơ b n c a đ nh lý 
G i ep(n) là s mũ c a p trong phân tích tiêu chu n c a n. Khi đó ta có các tính chát sau: 
1. ep(n) là hàm s c ng tính: 

ep (n1n2) = ep (n2) + ep (n2)  (5) 

2. G i p (n) là s các c p s t nhiên có th t (, m) sao cho pm = n. Khi đó 

ep (n) = p (n)  (6) 


Hai tính ch t trên g n như hi n nhiên và có th ch ng minh tr c ti p t đ nh nghĩa. Áp 
d ng hai tính ch t này ta s ch ng minh đư c m t s k t qu đ p sau đây: 
Đ nh lý 2.1.1 (Đ nh lý Legendre). S mũ c a p trong phân tích tiêu chu n c a n! là: 
n
ep (n!) =  (7) 


L i gi i. Ta s s d ng hai tính ch t (6) và (7) đ ch ng minh đ nh lý này. Ta có 


 



=
 
(,m) 
pm n 
 


n
 




Ch ng minh s d ng hai h th (6) và (7) cho ta cách nhìn m i v phép ch ng minh đ nh 
lý Euclide v s nguyên t : 
Đ nh lý 2.1.2 (Đ nh lý Euclide). T n t i vô h n s nguyên t . 
Trư c h t ta có m t s nh n xét sau: 
Nh n xét. S d ng kí hi u ep (n) ta có: 

 pn 




4
 
Nh n xét. S d ng đ nh lý Legendre và tính ch t c a ph n nguyên ta có b t đ ng th c 
sau: 

 
ep (n!) = 
 

 

Ta s áp d ng vào ch ng minh đ nh lý Euclide: 
L i gi i. Gi s có h u h n s nguyên t p. Thay (8) vào (9) ta có đư c b t đ ng th c sau: 

n
n!  p p1 
pn 
 

ho c là 
 



 



n! 
 




pn 
 


1
p p1 
 



(10) 
 

Nhưng theo m t k t qu quen thu c ta có: xlim 
 
n
 
n! = + mà ch có h u h n s nguyên 
 
t p nên khi ta cho n c hai v c a b t đ ng th c (10) ta có v trái ti n đ n +còn v ph i ti n đ n m t h ng s . Đi u đó d n đ n mâu thu n. 
B t đ ng th c (9) có r t nhi u ng d ng và ta s xem xét các bài toán liên quan đ n b t 
đ ng th c này trong ph n ti p theo. 


2.1.2  ng d ng c a đ nh lý Legendre trong các bài toán 

ng d ng trong chia h t c a đ nh lý Legendre 

Bài toán 2.1.1. Gi s m, n là hai s t nhiên sao cho m không có ư c nguyên t nào bé 
hơn ho c b ng n. Ch ng minh r ng: 
  
Vẻ đẹp phần nguyên từ những tính chất cơ bản THPT chuyên ĐHQG Hà Nội Reviewed by Tân Phúc on 12:22:00 Rating: 5 Bài viết Vẻ đẹp phần nguyên từ những tính chất cơ bản THPT chuyên ĐHQG Hà Nội của nhóm tác giả Chu Tuấn Anh, Ngô Việt Hải, Phạm Huy Hoàng, ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.