728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tích vô hướng

Hôm nay, VietMaths tiếp tục bàn về vấn đề tích vô hướng của hai véc tơ để chúng ta có những cái nhìn rõ hơn. Ở đây, chúng tôi bàn đến ứng dụng của tích vô hướng hai véctơ để chứng minh bất đẳng thức. Đây là một chủ đề đang được nhiều thầy cô giáo, học sinh quan tâm.
ung dung tich vo huong chung minh bat dang thuc toan hoc, su dung tich vo huong cm bdt

Ở kỳ trước, VietMaths đã bàn về một chủ đề liên quan đó là:   Ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ để giải PT, hệ PT và bất phương trình nói chung các bạn cũng nên bỏ chút ít thời gian ra đọc để nắm phương pháp.

Một vài ví dụ bài tập về chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tích vô hướng

Để các bạn thấy được ứng dụng tích vô hướng cụ thể như thế nào, VietMaths đưa ra đây một số ví dụ điển hình, nếu ai thích đọc tiếp thì tải về máy.  Chúc các bạn may mắn.

Ví dụ 1:  Chứng minh rằng với mọi số a, b, c ta có
$$abc(a + b +c)\leq a^4 + b^4 + c^4 .$$
Giải : Khai triển vế trái thành  $a^4bc + ab^4c + abc^4 .$ và xét các vectơ $\overrightarrow{u} = (ab, bc, ca)$ và $\overrightarrow{v} = (ca, ab, bc)$
$|\overrightarrow{u}| = \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}$
$|\overrightarrow{v}| = \sqrt{c^2a^2 + a^2b^2 + b^2c^2}$
Do đó:
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=(ab, bc, ca)(ca, ab, bc) \leq |\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{v}|=\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}.\sqrt{c^2a^2 + a^2b^2 + b^2c^2}$$
$$\Leftrightarrow abc(a + b + c) \leq a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 .$$
Lại xét các vectơ $\overrightarrow{x} = (a^2 , b^2 , c^2)$ và $\overrightarrow{y} = (b^2 , c^2 , a^2)$ và ta có
$(a^2, b^2, c^2)(b^2, c^2, a^2) \leq \sqrt{a^4 + b^4 + c^4}.\sqrt{b^4 + c^4 + a^4}$
$\Leftrightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \leq \left(\sqrt{a^4 + b^4 + c^4}\right)^2$
$ \Leftrightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \leq a^4 + b^4 + c^4 .$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
$$\left\{\begin{array}{l}
a^2 = \lambda b^2\\
 b^2 = \lambda c^2\\
c^2 = \lambda a^2
\end{array}\right. \Leftrightarrow a =b = c$$
Vậy bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức khi $a = b = c$
* Nhận xét: Ta vừa chứng minh ví dụ trên bằng phương pháp ứng dụng tích vô hướng. Ngoài phương pháp trên ta còn có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si để giải bài này, Thật vậy: áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ta có :
$a^4 + b^4 \geq 2a^2b^2 \hspace{1cm}(1)$
$b^4 + c^4 \geq 2b^2c^2\hspace{1cm} (2)$
$c^4 + a^4 \geq 2c^2a^2 \hspace{1cm}(3)$
Cộng vế theo vế của các bất phương trình (1), (2), (3) ta được:
$2(a^4 + b^4 + c^4) \geq2( a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 )\Leftrightarrow (a^4 + b^4 + c^4) \geq ( a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 )\hspace{1cm}(*)$
Ta cũng có:
$a^2b^2 + b^2c^2 \geq 2ab^2c\hspace{1cm}(1')$
 $b^2c^2 + c^2a^2 \geq 2bc^2a\hspace{1cm} (2')$
$c^2a^2 + a^2b^2 \geq 2ca^2b\hspace{1cm}(3')$
Cộng vế theo vế của các bất phương trình (1'), (2'), (3') ta được: $2( a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 ) \geq 2bca (a + b + c) \Leftrightarrow  a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \geq abc(a + b +c)\hspace{1cm}(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra : $abc(a + b +c)\leq a^4 + b^4 + c^4$(đpcm)

Trước khi qua ví dụ tiếp theo, các bạn nên xem:  Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Thế Sinh

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi tam giác $ABC$ luôn có :
$$\cos{A} + \cos{B} + \cos{C} \leq \frac{3}{2}$$
Giải.
Dể thấy bất đẳng thức (BĐT) (1) tương đương với
$$\sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{B}{2}} \leq \frac{1}{8}$$
và có nhiều cách chứng minh khác nhau như áp dụng định lí côsin trong tam giác ; đưa vè dạng tổng bình phương hoặc dựa trên BĐT hàm lồi.
Lời giải sau dựa vào tích vô hướng của các véctơ.
Gọi độ dài $BC = a, AC = b, AB = c$.
Từ điểm I tùy ý trong mặt phẳng $(ABC)$ dựng 3 véctơ $\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \overrightarrow{v_3}$ có độ dài đơn vị lần lượt vuông góc với các cạnh $BC, AB, AB$.
Theo tính chất của tích vô hướng}
$0 \leq {(\overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2} + \overrightarrow{v_3})}^2 = {\overrightarrow{v_1}}^2 + {\overrightarrow{v_2}}^2 + {\overrightarrow{v_3}}^2 + 2(\overrightarrow{v_1}\overrightarrow{v_2} + \overrightarrow{v_2}\overrightarrow{v_3} + \overrightarrow{v_1}\overrightarrow{v_3}) .$
Để ý theo giả theo giả thiết
${\overrightarrow{v_1}}^2 = {\overrightarrow{v_2}}^2  = { \overrightarrow{v_3}}^2 = 1 ;$
$\overrightarrow{v_1}. \overrightarrow{v_2} = \cos{(\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2})} = -\cos{C} ;$
$\overrightarrow{v_2}. \overrightarrow{v_3} = -\cos{A} ;  \overrightarrow{v_1}. \overrightarrow{v_3} = -\cos{B}$
nên :
$0 \leq 3 - 2( \cos{A} + \cos{B} + \cos{C}) ,$
từ đó
$\cos{A} + \cos{B} + \cos{C} \leq \frac{3}{2}$.
Nhận xét: Ta vừa giải bài toán trên bằng phương pháp ứng dụng tích vô hướng trong bất đẳng thức của tam giác. Ngoài cách giải trên ta còn có thế giải bài toán này bằng những cách giải khác. thật vậy: Ta có :
$\cos{A} + \cos{B} + \cos{C} = \cos{A} + \cos{B} - \cos{(A + B)}$
$=2\cos{\frac{A + B}{2}}\cos{\frac{A - B}{2}} + 1 - 2\cos^2{\frac{A + B}{2}} \leq 2\cos{\frac{A + B}{2}} + 1 - 2\cos^2{\frac{A + B}{2}}$
 mà
$2\cos{\frac{A + B}{2}} + 1 - 2\cos^2{\frac{A + B}{2}} = -2\left(\cos{\frac{A + B}{2}} - \frac {1}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} \leq \frac{3}{2}$
$\Rightarrow\cos{A} + \cos{B} + \cos{C} \leq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi
$$\left\{\begin{array}{l}
\cos{\frac{A - B}{2}} = 1\\
\cos{\frac{A + B}{2}} = \frac{1}{2}
\end{array}\right. \Leftrightarrow A = B = C$$
 tức tam giác ABC là tam giac đều.

Các bạn tải đầy đủ file tài liệu ứng dụng tích vô hướng chứng minh bất đẳng thức tại:
Download CM BDT bang Tich vo huong

Xem thêm: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức (T. Thủy, T. Dung)
Chứng minh bất đẳng thức bằng cách sử dụng tích vô hướng Reviewed by Tân Phúc on 18:31:00 Rating: 5 Hôm nay, VietMaths tiếp tục bàn về vấn đề tích vô hướng của hai véc tơ để chúng ta có những cái nhìn rõ hơn. Ở đây, chúng tôi bàn đến ứng d...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.