728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Chứng minh Bất đẳng thức Bu-nhia-kop-xki bằng phương pháp tam thức bậc hai

Bất đẳng thức Bu-nhia-kop-xki được phát biểu như sau:
Cho n cặp số thực bất kì $a_i, b_i, i = 1,..., n.$ Thế thì
$${(a_1b_1 + a_2b_2 + a_nb_n)}^2 \le ({a_1}^2 +{a_2}^2 +... {a_n}^2)({b_1}^2 + {b_2}^2 +... {b_n}^2).$$
 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số $k \in \mathbb{R}$ sao cho $b_1 = ka_1, b_2 = ka+2,... b_b = ka_n$
Đây là một trong những bất đẳng thức phổ biến nhất ở trong chương trình giáo dục toán ở Việt Nam, nó được sử dụng để chứng minh các bất đẳng thức toán học mà các học sinh hay bắt gặp trong kỳ thi đại học cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia và quốc tế.

chung minh bdt bunhiakopxki bang phuong phap tam thuc bac hai
Bất đẳng thức Bu-nhia-kop-xki nhìn dưới góc độ tích phân
Đôi lời tản mạn về Bất đẳng thức Bunhikopxki mà ai thích thì đọc

Bất đẳng thức toán học Bunhikopxki (theo tài liệu SGK toán Việt Nam) đôi khi được gọi là bất đẳng thức Cauchy–Schwarz, được nhà toán học Victor Yakovlevich Bunyakovsky đưa ra với mục đích là hỗ trợ việc chứng minh BĐT. Nó được phát biểu dưới nhiều dạng khác nhau, dưới góc độ giải tích hàm thì chúng ta có thể phát biểu dưới dạng chuẩn (tất nhiên là xét trong không gian tích) như sau:
bat dang thuc bunhikopxki duoi dang chuan
Ở đây, $<x,y>$ là tích của hai véc tơ $x,y$, dễ thấy rằng hàm $f(x,y)=<x,y>$ liên tục trên không gian tích.

Chứng minh bất đẳng thức Bu-nhia-kop-xki bằng phương pháp tam thức bậc hai

Phải nói rằng có quá nhiều cách để chứng minh, chúng ta có thể liệt kê: quy nạp nè, hình học nè, vân vân và vân vân. Nhưng ở đây, tiếp theo bài viết: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức (T. Thủy, T. Dung) VietMaths muốn bạn đọc lưu luyến một chút về chủ đề này, đó là dùng pp tam thức bậc hai để chứng minh BĐT Bunhikốpski. Không có gì quá phức tạp, nhưng nếu ai thích thì cứ xem cho biết, nói chung không phí đâu.

Phép chứng minh như sau: $\forall x \in \mathbb{R}$ ta có:
 $({a_1x - b_1})^2 \ge 0$
$..........$
$({a_nx - b_n})^2 \ge 0.$
Từ đó suy ra:
${a_1}^2x^2 - 2a_1b_1x + b_1^2 \ge 0$
 $..............$
${a_n}^2x^2 - 2a_nb_nx + b_n^2 \ge 0$
Cộng vế với vế ta được
$({a_1}^2 + {a_2}^2 +... + {a_n}^2)x^2 - 2(a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n)x+ ({b_1}^2 +{b_2}^2+... + {b_n}^2) \ge 0.$
Vế trái là một tam thức bậc hai $f(x) = Ax^2 - 2B'x + C$ với A > 0 và $f(x) \ge 0 \ \forall x \in \mathbb{R}$ nên nếu A > 0 thì
$\triangle = B'^2 - AC = {(a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n)}^2 -({a_1}^2 + {a_2}^2 +... + {a_n}^2)({b_1}^2 + {b_1}^2 +... + {b_n}^2) \le 0 $
và thu được bất đẳng thức cần phải chứng minh.
Còn nếu A = 0 thì $a_1 = a_2 =... = a_n = 0 $ khi đó bất đẳng thức cần chứng minh là hiển nhiên.
Cuối cùng ta thấy dấu "='' trong bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
$\triangle = 0 \Leftrightarrow a_1x - b_1 =... = a_nx - b_n = 0\Leftrightarrow b_1 = ka_1,..., b_n = ka_n$ với $k \in \mathbb{R}.$

Trên đây VietMaths đã giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bunhiakopxki bằng phương pháp tam thức bậc hai. Có nhiều điều để bàn về vấn đề này tuy nhiên ở đây không thể tỏ rõ hết được nỗi lòng được. Ai thích Bunhiakopski thì có thể tham khảo thêm:  Bất đẳng thức Bunhiakốpsky cho người học Toán (Đỗ Kim Sơn)
Chứng minh Bất đẳng thức Bu-nhia-kop-xki bằng phương pháp tam thức bậc hai Reviewed by Tân Phúc on 00:40:00 Rating: 5 Bất đẳng thức Bu-nhia-kop-xki được phát biểu như sau: Cho n cặp số thực bất kì $a_i, b_i, i = 1,..., n.$ Thế thì $${(a_1b_1 + a_2b_2 + a_n...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.