728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức (T. Thủy, T. Dung)

VietMaths xin giới thiệu đến bạn đọc cả nước tài liệu sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức của hai tác giả đến từ thành phố cao nguyên mộng mơ. 

Đôi lời mạn đàm của tác giả về việc chứng minh bất đẳng thức:
Bất đẳng thức là một nội dung rất quan trọng trong chương trình toán học, nó tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ tính độc đáo trong phương pháp cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải. Để có thể giải một bài toán về bất đẳng thức yêu cầu người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, mà còn biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các phương pháp đã học. 

chung minh bat dang thuc bang phuong phap tam thuc bac hai

Bất đẳng thức là một mảng toán khó, có rất nhiều phương pháp chứng minh nhưng không có phương pháp nào là tuyệt đối có thể chứng minh được tất cả các bất đẳng thức. Vì vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức sẽ giúp sinh viên nâng cao khả năng tư duy, từ đó học tập tốt hơn. 
Để thấy rõ nhận định trên bạn nên ghé thăm kho bất đẳng thức này: bộ sách bất đẳng thức hay

Định nghĩa tam thức bậc hai:
- Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức dạng $ax^2 + bx + c $, trong đó $a, b, c$ là những số cho trước với $a \ne 0$.
- Nghiệm của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$ chính là nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$. Kí hiệu: $x_1, x_2$ là nghiệm của $f(x) = 0$
- Biểu thức $\triangle = b^2 - 4ac$ và $\triangle' = b'^2 - ac$ là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$
Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai:
Cho tam thức bậc hai: $f(x) = ax^2 + bx + c,\quad (a \ne 0).$
Khi đó:
* Nếu $\triangle <0  \text{thì}\  f(x)\quad \text{luôn luôn cùng dấu với a} ,\forall x \in \mathbb{R}.$
* Nếu $\triangle=0  \text{thì}\ f(x)\quad \text{luôn luôn cùng dấu với a},\forall x \in \mathbb{R}, x \ne -\frac{b}{2a} \text{(khi}\quad x =-\frac{b}{2a} \text{thì} f(x)=0).
$
* Nếu $\triangle >0\ $ thì (x)cùng dấu với a với mọi x ở ngoài khoảng hai nghiệm và trái dấu với a với mọi x ở trong khoảng hai nghiệm.

Một vài mẫu ví dụ về phương pháp sử dụng tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức trong tài liệu này:

Ví dụ thứ nhất: Cho $a^3 > 36$ và $abc = 1$. Chứng minh
$\frac{a^2}{3}+ b^2 + c^2 > ab + bc + ca$
Giải:
Từ $abc = 1 => bc = \frac{1}{a}$ . Do $a^3 > 36 => a > 0$
Bất đẳng thức đã cho có thể viết thành:
$\frac{a^2}{3} + (b + c)^2 - 2bc > bc + a(b + c ) $
$\Leftrightarrow  (b + c)^2 - (b + c)a - 3bc + \frac{a^2}{3}  >  0$
$\Leftrightarrow  (b + c)^2 - a(b + c) + \frac{a^2}{3} - \frac{3}{a}  >  0 (1)$
Đặt $f(t) = t^2 - at + \frac{a^2}{3} - \frac{3}{a}$. Ta có:
 $\triangle = a^2 - 4\left(\frac{a^2}{3} - \frac{3}{a}\right) = \frac{36 - a^3}{3a} < 0 \text{vì $a^3>36$}$
Vậy $f(t)$ có $ \triangle < 0$ và hệ số 1 > 0 nên $f(t) > 0$ với mọi t.
Suy ra (1) đúng (đ.p.c.m)

Ví dụ thứ hai: Cho a, b, c là 3 cạnh tam giác; còn x, y, z là 3 số thỏa mãn điều kiện $ax + by + cz = 0$. Chứng minh:
$ xy + yz + zx \leq 0$
Giải:
Từ $ax + by + cz = 0$ $\Rightarrow z = -\frac{ax + by}{c}$ . Vậy
$(1)  \Leftrightarrow xy -\frac{ax + by}{c}(x + y)\leq 0$
$\Leftrightarrow cxy - (ax + by)(x + y) \leq 0 $
$\Leftrightarrow ax^2 + xy(a + b - c) + by^2 \geq 0(2)$
1. Nếu $y = 0$ thì (2)$\Leftrightarrow ax^2 \geq 0$ vậy (2) đúng
2. Nếu $y\ne 0$,khi đó
$(2)\Leftrightarrow a\left(\frac{x}{y}\right)^2 + (a + b - c)\frac{x}{y} + b \ge 0(3)$
Đặt $f(t) = at^2 + (a + b - c)t + b$
Ta có:
$\triangle  = (a + b - c)^2- 4ab$
$ = a^2 + b^2 + 2ab - 2(a + b)c + c^2 - 4ab$
$ =  a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac -2bc.$
Sử dụng bất đẳng thức tam giác có ba cạnh a, b, c. Ta có:
$\vert b - c \vert < a \Rightarrow b^2 - 2bc + c^2 < a^2$
 $\vert a - c \vert < b \Rightarrow a^2 - 2ac + c^2 <b^2 $
$\vert a - b \vert < c \Rightarrow a^2 - 2ab + b^2 < c^2$
Vậy ta có ${a^2 + b^2 + c^2} < 2ab + 2ac + 2bc$
Do đó $\triangle <0$ \\
Vậy $f(t)$ có $\triangle < 0$ và hệ số a > 0 nên $f(t) >0$
Suy ra (3) đúng (đ.p.c.m)
Ta nhận thấy dấu bằng chỉ có thể xảy ra trong trường hợp $y =0$
Vậy có dấu bằng $\Leftrightarrow x = y = z = 0$

Trước khi qua ví dụ số 3 về pp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức các bạn xem một bài viết thú vị gần đây: Bất đẳng thức và những lời giải ấn tượng trong tôi Phạm Kim Chung

Ví dụ thứ ba: Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để có thể lấy $a, b, c$ làm độ dài ba cạnh của một tam giác là
$pa^2 + qb^2 > pqc^2 \quad (1)$  với mọi $p +q = 1$.
Giải
Điều kiện cần. Giả sử $a, b ,c$ là độ dài 3 cạnh của tam giác.Vì $p + q = 1\Leftrightarrow q=1-p$ nên: $(1) \Leftrightarrow pa^2 + (1 - p)b^2 - p(1 - p)c^2 >0 \quad (\forall p)$
$\Leftrightarrow c^2p^2 - p(b^2 + c^2 - a^2) +b^2\quad> 0(2)$
Đặt $f(p) = c^2p^2 - p(b^2 + c^2 - a^2) +b^2$
$\triangle = (b^2 + c^2 - a^2)^2 - 4b^2c^2$
$ = (b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc)$
$= [(b + c)^2 - a^2] [(b - c)^2 - a^2]$
$= (b + c + a)(b + c -a)(b -c - a)(b -c + a)$
Do a, b, c là ba cạnh của tam giác nên có ngay $\triangle < 0 $Vậy f(p) có $\triangle < 0$ và hệ số $c^2 > 0$ nên f(p) > 0 với mọi p tức là bất đẳng thức (2) đúng $\forall p$, do đó (1) đúng với mọi $p + q = 1.$
Điều kiện đủ. Đảo lại giả sử (1) đúng với mọi $p +q = 1$, tức là (2) đúng $\forall p$. Từ đó theo định lí thuận của tam thức bậc hai, ta có
$\triangle <0$, tức là
$(b + c - a)(b + a - c)(b - c - a) < 0$ hay  $(b + c - a)(b + a - c)(a + c - b ) > 0(3)$
Từ (3) suy ra chỉ có thể có hai trường hợp sau :
1/ Cả 3 thừa số đều dương, khi đó rõ ràng a, b, c có thể lấy làm độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .
2/ Có 2 thừa số âm và 1 thừa số dương. Có thể là
$b+ c - a  < 0$
$b + a - c < 0$
Từ đó suy ra $b<0$; đó là điều trái với giả thiết. Vậy trường hợp 2 không thể xảy ra $\Rightarrow$ đ.p.c.m

Ví dụ thư tư: Cho một hình chữ nhật có 3 cạnh $a, b, c (a <b <c)$ và đường chéo bằng $d$. Gọi $P$ là tổng các cạnh của hình hộp, còn $S$ là diện tích toàn phần. Chứng minh
$a < \frac{1}{3} \left(\frac{1}{4}P - \sqrt{d^2 -\frac{1}{2}S}\right) < -\frac{1}{3} \left(\frac{1}{4}P +  \sqrt{d^2 -\frac{1}{2}}S \right) < c $
Giải: Xét tam thức bậc hai
$f(x) = x^2 - \frac{1}{6}Px + \frac{1}{9}\left(\frac{P^2}{16}-d^2+ \frac{1}{2}S\right)$
Ta có: $\triangle = \left(-\frac{1}{6}P\right)^2 - 4\left[\frac{1}{9}\left(\frac{P^2}{16} - d + \frac{1}{2}S\right)\right]$
$=\frac{1}{36}P^2 - 4\frac{P^2}{144} + \frac{4}{9d^2}-\frac{4}{18}S$
$=\frac{4}{9}\left(d^2 - \frac{1}{2}S\right)$
Vì $d^2 - \frac{1}{2}S = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca) >0 $ do $(a< b< c)$
$\Rightarrow$ f(x) có hai nghiệm $x_1 < x_2$, với
$x_1 = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}P - \sqrt{d^2 -\frac{1}{2}S}\right)$, $x_2= \frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}P +\sqrt{d^2 -\frac{1}{2}S}\right)$
Bài toán trở thành: Chứng minh $a < x_1$ còn $c > x_2$.
Ta có  $\frac{S}{2} - a =  \frac{P}{12} - a =  \frac{a + b + c}{3} - a= \frac{b + c -2a}{3}$ Do $b > a$, $c > a \Rightarrow \frac{S}{a}-a >0. \text{Tương tự}\ \frac{S}{2}-c <0$ Lại có $f(a)=a^2 - \frac{1}{6}Pa + \frac{1}{9}\left(\frac{P^2}{16}-d^2 + \frac{1}{2}S\right)$
Do $\frac{P^2}{16} - d^2 +\frac{1}{2}S=(a + b + c)^2 - a^2 - b^2 - c^2 + ab + bc + ac =3ab + 3bc + 3ac$
$\Rightarrow f(a)  = a^2 -  \frac{2a(a + b + c)}{3}+ \frac{ab + bc + ca}{3}$
$= \frac{a^2 - ab - ac - bc}{3}= \frac{(c-a)(c-b)}{3} > 0$
$f(c)  = c^2 - \frac{2c(a + b + c)}{3}+\frac{ab + bc + ca}{3}$
$=\frac{c^2 - ca - cb - ab}{3}= \frac{(c-a)(c-b)}{3}>0$
 Như vậy ta có $\triangle > 0$
$f(a)>0$
$f(c)>0$
$a<\frac{S}{2}<c$
 Vậy theo định lý đảo ta có $a<x_1$ và $c>x_2$ $\Rightarrow$ đ.p.c.m

Trên đây là bốn ví dụ để các bạn xem thế nào, nếu thích thì cứ vô tư cho vài lợi ngợi khen động viên.

Địa chỉ để tải tài liệu pp chứng minh BĐT bằng Tam thức bậc hai:
Tài liệu này khá nhẹ, được gõ bằng Latex đẹp, rất thích hợp cho những bạn ôn thi học sinh giỏi các cấp và các thầy cô dạy chuyên toán: Download PP chung minh BDT bang Tam thuc Bac 2 

Một số phương pháp khác để chứng minh BĐT mà bạn không thể bỏ qua:
Phương pháp SOS chứng minh bất đẳng thức
Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Thế Sinh
Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức (T. Thủy, T. Dung) Reviewed by Tân Phúc on 23:14:00 Rating: 5 VietMaths xin giới thiệu đến bạn đọc cả nước tài liệu sử dụng phương pháp tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức của hai tác giả đến từ ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.