728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ để giải PT, hệ PT và bất phương trình

Đã gần sáng, không gian tịch lặng, và làn gió nhẹ như thoảng đưa một giai điệu trầm buồn cho mọi vật xung quanh. Và để hâm nóng cái không khí lạnh lẽo kia, VietMaths xin giới thiệu một tài liệu nhỏ nhưng khá bổ ích cho mọi người đó là: Ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ để giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình. 

ung dung tich vo huong hai vecto de giai phuong trinh, he phuong trinh, bat phuong trinh

Một tài liệu hay cùng chủ đề của MathCope, mà VietMaths đã giới thiệu:  Chuyên đề Phương trình - Hệ phương trình 2015 của MathsCope

Tìm hiểu một chút ít về tích vô hướng của hai véc tơ?

 Ta đã biết với hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\neq\overrightarrow{0}$, tích vô hướng được định nghĩa như sau:
$|\overrightarrow{u}|.|{\overrightarrow{v}}|.\cos{(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v})}\hspace{1in} (I)$
Từ  dó có thể vận dụng để chứng minh hai đường thẳng hoặc là song song hoặc là vuông góc hoặc tính góc tạo bởi hai đường thẳng. Tuy nhiên, nếu dừng ở đó thì chưa thấy hết được ứng dụng của nó. Chỉ cần chú ý rằng $\cos{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}\leq1$ thì từ (I) có thể suy các bất đẳng thức :
$$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\leq|{\overrightarrow{u}}|.|{\overrightarrow{v}}|\hspace{1in} (II)$$$$|{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}|\leq|{\overrightarrow{u}}|.|{\overrightarrow{v}}|\hspace{1in}(III)$$
Trong hệ tọa độ Đề-các vuông góc với $\overrightarrow{u}=(x_1, y_1, z_1)$ và $\overrightarrow{v}=(x_2, y_2, z_2)$ thì biểu thức giải tích của (II) và (III) là
$x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \leq \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} . \sqrt{x_2^2 + y_1^2 + z_1^2}\hspace{1in}(II')$
$|{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}|\leq \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} . \sqrt{x_2^2 + y_1^2 + z_1^2}\hspace{1in}(III')$
(II) trở thành đẳng thức khi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng hướng còn (III) trở thành đẳng thức khi $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương, tức là $\overrightarrow{u} = \lambda\overrightarrow{v}$ hay :
$$(IV) \left\{\begin{array}{l}
x_1=\lambda x_2\\
y_1=\lambda y_2\\
z_1=\lambda z_2
\end{array}\right.$$
với $\lambda\neq 0 ; (\lambda > 0)$ khi  $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ cùng hướng, $\lambda < 0 $ khi  $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ cùng phương khác hướng. Các bất đẳng thức (II'), (III') gợi ý cho ta có thể vận dụng chúng để giải một số bài toán : chứng minh bất đẳng thức, giải bất phương trình, hệ phương trình hoặc bài toán cực trị.

Một vài ví dụ mẫu về việc sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

Ví dụ 1: Giải bất phương trình
$\sqrt{x-1}+x-3 \leq \sqrt{2(x-3)^2+2x-2}$
Giải: Với $x \geq 1$} xét các vectơ $\overrightarrow{u}=(\sqrt{x-1}, x-3)$ và $\overrightarrow{e}= (1, 1)$ ta có
$|{\overrightarrow{u}}|=\sqrt{x-1+(x-3)^2}$ 

$|{\overrightarrow{e}}|=\sqrt{2}.$
Theo (II') ta được :
$(\sqrt {x - 1}, x - 3)(1, 1) \leq \sqrt{x -1 + (x - 3)^2}.\sqrt{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt {x - 1} + x - 3 \leq \sqrt{2x - 2 + 2(x-3)^2}$
theo (IV) ta được:
$$\left\{\begin{array}{l}
\sqrt {x - 1} = \lambda\\
 x - 3 = \lambda
\end{array}\right. \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = x - 3 \Rightarrow x = 5$$
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình
$$\sqrt{x + 1} + \sqrt{2x - 3} + \sqrt{50 - 3x} \leq 12  \hspace{0.4in}(2)$$
Giải : Tập xác định của vế trái là $\frac{3}{2}\leq x\leq\frac{50}{3}.$
Xét các vectơ $\overrightarrow{u} = (\sqrt{x + 1},\sqrt{2x - 3},\sqrt{50 - 3x})$ và $\overrightarrow{v}=(1, 1, 1)$, ta có $|{\overrightarrow{u}}| = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ và $|{\overrightarrow{v}}| = \sqrt{3.}$
Theo (II') bất phương trình (2) trở thành :
$(\sqrt{x + 1}, \sqrt{2x - 3}, \sqrt{50 - 3x})(1, 1, 1) \leq 4\sqrt{3}.\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x - 3} + \sqrt{50 - 3x} \leq 12 $
Vậy nghiệm của bpt (2) là $\frac{3}{2}\leq x\leq \frac{50}{3}.$
 
 Trên đây là hai ví dụ thô sơ, gọi là giới thiệu, nếu bạn đọc quan tâm thì hãy tải toàn bộ file về in ra tham khảo nhé. Các bạn ôn thi đại học có thể xem thêm: Phương trình lượng giác, mũ lôgarit và hình học giải tích của Bồ Xuân Hậu

Địa chỉ lấy tài liệu Ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ để giải phương trình, hệ PT và bất phương trình

Đây chỉ là một tài liệu nhỏ, nhưng VietMaths nghĩ rằng nó là vô giá đối với các bạn muốn nâng cao thêm một chút gì đó cho công việc học tập của mình. Nếu thích thì hãy nhìn về bên phải phía trên để ủng hộ và động viên chúng tôi viết tiếp nhé.

Download Tai lieu Ung dung Tich vo huong (Pdf)

Xem thêm: Dạng Toán Phương Trình Bất Phương Trình Hệ Phương Trình chưa tham số giải bằng đạo hàm
Ứng dụng tích vô hướng của hai véctơ để giải PT, hệ PT và bất phương trình Reviewed by Tân Phúc on 02:31:00 Rating: 5 Đã gần sáng, không gian tịch lặng, và làn gió nhẹ như thoảng đưa một giai điệu trầm buồn cho mọi vật xung quanh. Và để hâm nóng cái không k...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.