728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Chứng minh không từ ngữ công thức Hê rông một kiệt tác toán học

Các bạn đã làm quen với khái niệm chứng minh không từ ngữ , hôm nay với phương pháp này chúng tôi sẽ giới thiệu cách dùng nó để chứng minh công thức Hê rông, nói chung đây có thể coi là một kiệt tác toán học.
Tâm sự đôi chút: đang viết bài thì đứa em làm Moobifone ở Đà Nẵng gọi, nhắn là có cuốn sách toán hay gửi lên cho ông anh. Thật là tuyệt, hy vọng sẽ tìm được nhiều ý tưởng hay để chia sẻ cùng độc giả cả nước. Dưới đây là một tác phẩm của đứa em bên tách cà phê.

Đứa em này vốn là dân toán hẳn hoi, giỏi toán nhưng đã dấn thân theo con đường khác, đã từng là thủ khoa đầu ra ngành điện tử viễn thông Đại học Bách khoa Đà Nẵng.

Thôi trở lại với bài toán, nhưng trước tiên bạn nên xem cái này:  Dùng hình vẽ để chứng minh công thức Pitago và những bàn luận thêm

Chứng minh công thức Hê rông bằng phương pháp chứng minh không từ ngữ:

Công thức Hê rông: Gọi $p$ là nửa chu vi và $a, b, c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Khi đó
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Trước tiên ta chứng minh bài toán 1:
Bài toán 1: Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác. Khi đó, diện tích của một tam giác $S$ bằng tích bán kính $r$ đường tròn nội tiếp và nữa chu vi $p$.
$S=pr$
Chứng minh:
chung minh khong tu ngu cong thuc he rong, chung minh bang hinh ve cong thuc he rong
Nhận xét: Ta có thể hiểu cách chứng minh như sau: Ta có diện tích của hai hình vẽ trên bằng nhau, mà
$p=x+y+z=x+a=y+b=z+c$
do đó
$S=(x+y+z)r=pr$
Bài toán 2:  Cho ba góc $A, B, C (0\leq A,B,C\leq\frac{\pi}{2})$  bất kỳ sao cho $A+B+C=\frac{\pi}{2}$  thì
$\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan A \tan C=1$
Chứng minh:
chung minh cong thuc heron bang hinh ve, chứng minh không từ ngữ công thức hê rông

Chứng minh bài toán gốc: Từ kết quả bài toán 2 ta có
$1=\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan A \tan C=\frac{r}{x}\frac{r}{y}+\frac{r}{y}\frac{r}{z}+\frac{r}{z}\frac{r}{x}$
 $=\frac{r^2(x+y+z)}{xyz}=\frac{r^2 p}{xyz}=\frac{S^2}{pxyz}$
Do đó
$S^2=pxyz=p(p-a)(p-b)(p-c)$
nên
$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Nhận xét:  Để có công thức Heron ở trên thì ta đã sử dụng hai bài toán 1, 2 và kết hợp với phương pháp biến đổi đại số. Việc chứng minh hai bài toán 1, 2 thì chúng ta chỉ sử dụng hình vẽ thuần túy.

Những khái niệm lên quan có đây:   Chứng minh bằng hình vẽ mở ra một cách tiếp cận mới trong dạy học toán
Chứng minh không từ ngữ công thức Hê rông một kiệt tác toán học Reviewed by Tân Phúc on 22:04:00 Rating: 5 Các bạn đã làm quen với khái niệm chứng minh không từ ngữ , hôm nay với phương pháp này chúng tôi sẽ giới thiệu cách dùng nó để chứng minh...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.