728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Rãnh rỗi ngồi giải mấy câu trong Toán Học Tuổi Trẻ số 454 tặng bạn đọc

Hôm nay, rãnh rỗi ngồi đọc Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ số 454 nhớ lại những ngày thong dong năm xưa. Hồi đó ngồi cày mấy câu trong THTT, được câu nào là gửi tòa soạn ngay. Mỗi lần được nêu tên thì cũng cảm thấy sương sướng chút ít trong người.
Bạn đọc nào quan tâm thì nghiên cứu mấy lời giải của VietMaths xem sao nhé.
Bài T10/454: Cho phương trình
$2014^x+nx=2013$
Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình trên có đúng một nghiệm $x_n$. Tìm $\lim x_n$.
Giải:
Với mỗi $n$ là số nguyên dương, đặt $f(x)=2014^x+nx-2013$. Ta có $f(0)=-2012<0, f(1)=1+n>0$ nên phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(0;1)$. Giả sử phương trình $f(x)=0$ có nhiều hơn một nghiệm trên $\mathbb{R}$,  khi đó gọi $a, b$ là hai nghiệm khác nhau. Ta có $f(a)=f(b)=0$, nên theo định lý Rôll tồn tại c nằm giữa $a$ và $b$ sao cho $f'(c)=0$, hay $2004^c\ln 2014 +n=0.$ Đây là điều vô lý. Vậy với mỗi $n$ phương trình $f(x)=0$ chỉ có duy nhất nghiệm $x_n$ và $x_n\in (0;1)$. Tức là phương trình đã cho có đúng một nghiệm $x_n$ và $x_n\in (0;1)$. 
Vì $2013=2014^{x_n}+nx_n>x_n+nx_n=x_n{(1+n)}$ nên từ đó ta có
$0<x_n<\frac{2013}{1+n}$. 
Suy ra $\lim x_n =0$.
Bình luận: Nếu ai chưa hiểu thì comment để trao đổi thêm nhé.
Bài T11/454: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R}->\mathbb{R}$ thỏa mãn
$(x+y)f(x+y)=xf(x)+yf(y)+2xy, \forall x,y \in\mathbb{R}.$
Giải:
Ta có 
$(x+y)f(x+y)=xf(x)+yf(y)+2xy, \forall x,y \in \mathbb{R},$
 nên 
$(x+y)f(x+y)-{(x+y)}^2=xf(x)+yf(y)+2xy -{(x+y)}^2, \forall x,y \in\mathbb{R}.$ 
Do đó
$(x+y)f(x+y)-{(x+y)}^2=(xf(x)-x^2)+(yf(y)-y^2), \forall x,y\in \mathbb{R}.$
Đặt  $h(x)=xf(x)-x^2,$ thì ta có $h(x+y)=h(x)+h(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$ và $h(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó $h(x)=ax$ với $a$ là một hằng số, suy ra $xf(x)-x^2=ax, \forall x \in\mathbb{R},$ nên $f(x)=x+a, \forall x \in\mathbb{R},$ $x$ khác 0.  Vì tất chất liên tục của hàm $f(x)$ nên ta suy ra $f(x)=x+a, \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy hàm $f(x)=x+a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $f(x)=x+a, \forall x \in\mathbb{R}$.
Bình luận: Nếu rãnh thì chúng tôi sẽ giải thêm vài câu nữa

Rãnh rỗi ngồi giải mấy câu trong Toán Học Tuổi Trẻ số 454 tặng bạn đọc Reviewed by Tân Phúc on 10:49:00 Rating: 5 Hôm nay, rãnh rỗi ngồi đọc Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ số 454 nhớ lại những ngày thong dong năm xưa. Hồi đó ngồi cày mấy câu trong THTT, được...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.