728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Ứng dụng số phức tính tổng của Lê Hồng Thái, Vĩnh Yên

Tác giả Lê Hồng Thái ở Vĩnh Yên sẽ chia sẻ với bạn đọc tài liệu ứng dụng số phức tính tổng, file word, đây là một sáng kiến kinh nghiệm của chính tác giả. Tác giả hiện là Phó Hiệu trưởng trường THPT Nguyễn Thái Học, Vĩnh Yên.

Chuyên đề gần đây: Chuyên đề toán 12 số phức của thạc sĩ Lê Văn Đoàn 55 trang

Nhị thức Niu tơn:
${(1+x)}^n={\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{0}} + {\rm{xC}}_{\rm{n}}^{\rm{1}} + {{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{2}} + ... + {{\rm{x}}^{{\rm{n - 1}}}}{\rm{C}}_{\rm{n}}^{{\rm{n - 1}}} + {{\rm{x}}^{\rm{n}}}{\rm{C}}_{\rm{n}}^{\rm{n}}$

Lời tựa của tác giả: "Ta biết sự ra đời của số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công thức $e^{i\pi}+1=0$ ).
Ứng dụng số phức tính tổng của Lê Hồng Thái, Vĩnh Yên

Một trong các vấn đề tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các  $C^k_n$” trên cơ sở khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton."

 Trích vài ví dụ sử dụng số phức để tính tổng từ tài liệu Sáng kiến kinh nghiệm này

Bài 1: Tính rổng sau
$A=\frac{1}{{{2^{50}}}}\left( {C_{50}^0 - 3C_{50}^2 + {3^2}C_{50}^4 - ... - {3^{23}}C_{50}^{46} + {3^{24}}C_{50}^{48} - {3^{25}}C_{50}^{50}} \right)$
Hướng dẫn:
${\left( { - \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)^{50}} = \frac{1}{{{2^{50}}}}\left( {C_{50}^0 - (i\sqrt 3 )C_{50}^1 + {{(i\sqrt 3 )}^2}C_{50}^2 + ... - {{(i\sqrt 3 )}^{49}}C_{50}^{49} + {{(i\sqrt 3 )}^{50}}C_{50}^{50}} \right) =\\= \frac{1}{{{2^{50}}}}\left( {C_{50}^0 - {{(\sqrt 3 )}^2}C_{50}^2 + {{(\sqrt 3 )}^4}C_{50}^4 - ... - {{(\sqrt 3 )}^{46}}C_{50}^{46} + {{(\sqrt 3 )}^{48}}C_{50}^{48} - {{(\sqrt 3 )}^{50}}C_{50}^{50}} \right) +\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{50}}}}}}\left( { - \sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{1}} + {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{3}} - {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{\rm{5}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{5}} + ... + {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{47}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{47}}} - {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{49}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{49}}}} \right){\rm{i}}$
Mặt khác
${\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} + \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right)^{{\rm{50}}}} = {\left( {{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) + {\rm{isin}}\left( {\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right)} \right)^{{\rm{50}}}} = {\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{100\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) + {\rm{isin}}\left( {\frac{{{\rm{100\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) =  - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - {\rm{i}}\frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}$
Do đó
$\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{2}}^{{\rm{50}}}}}}\left( {{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{0}} - {\rm{3C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{2}} + {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{\rm{4}} - ... - {{\rm{3}}^{{\rm{23}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{46}}} + {{\rm{3}}^{{\rm{24}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{48}}} - {{\rm{3}}^{{\rm{25}}}}{\rm{C}}_{{\rm{50}}}^{{\rm{50}}}} \right) =  - \frac{1}{2}$
Bài 2: Tính tổng
$B={3^{10}}C_{20}^0 - {3^9}C_{20}^2 + {3^8}C_{20}^4 - {3^7}C_{20}^6 + ... + {3^2}C_{20}^{16} - 3C_{20}^{18} + C_{20}^{20}$
Hướng dẫn: Xét khai triển
${\left( {\sqrt {\rm{3}}  + {\rm{i}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}^{{\rm{20}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} + {\rm{i(}}\sqrt {\rm{3}} {{\rm{)}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} - {{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}^{{\rm{18}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} - ... - {{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} - {\rm{i}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}\\{{\rm{3}}^{{\rm{10}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} - {{\rm{3}}^{\rm{9}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{3}}^{\rm{8}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} - {{\rm{3}}^{\rm{7}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{6}} + ... + {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{16}}} - {\rm{3C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}+\\\left( {{{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{19}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{1}} - {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{{\rm{17}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{3}} + ... + {{{\rm{(}}\sqrt {\rm{3}} {\rm{)}}}^{\rm{3}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{17}}} - \sqrt {\rm{3}} {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{19}}}} \right)i$
Mặt khác
${\left( {\sqrt {\rm{3}}  + {\rm{i}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}{\left( {\frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}} + {\rm{i}}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}{\left( {{\rm{cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}} + {\rm{isin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right)^{{\rm{20}}}} = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{20\pi }}}}{{\rm{6}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{20\pi }}}}{{\rm{6}}}} \right) =\\= {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}\left( {{\rm{cos}}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{3}}} + {\rm{isin}}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right) = {{\rm{2}}^{{\rm{20}}}}\left( { - \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} - \frac{{\sqrt {\rm{3}} }}{{\rm{2}}}{\rm{i}}} \right) =  - {{\rm{2}}^{{\rm{19}}}} - {{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}\sqrt {\rm{3}} \,{\rm{i}}$
Vậy
${{\rm{3}}^{{\rm{10}}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{0}} - {{\rm{3}}^{\rm{9}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{2}} + {{\rm{3}}^{\rm{8}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{4}} - {{\rm{3}}^{\rm{7}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{\rm{6}} + ... + {{\rm{3}}^{\rm{2}}}{\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{16}}} - {\rm{3C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{18}}} + {\rm{C}}_{{\rm{20}}}^{{\rm{20}}}=- {{\rm{2}}^{{\rm{19}}}}$

Địa chỉ tải file ứng dụng số phức để tính tổng của Lê Hồng Thái

Ứng dụng số phức tính tổng của Lê Hồng Thái, Vĩnh Yên Reviewed by Tân Phúc on 09:05:00 Rating: 5 Tác giả Lê Hồng Thái ở Vĩnh Yên sẽ chia sẻ với bạn đọc tài liệu ứng dụng số phức tính tổng, file word, đây là một sáng kiến kinh nghiệm của...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.