728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Các Khái niệm và Định nghĩa cơ bản về Chuỗi số

Những sinh viên đang học toán đại học cao đẳng không thể không đụng đến chuỗi số. Vì đây là một nội dung quan trọng trong môn giải tích, sinh viên cần nắm thật chắc những những khái niệm cơ bản nhất về chuỗi số.
Một số sách toán cao cấp giúp bạn học tốt phần chuỗi số:
1. Các Khái niệm và  Định nghĩa cơ bản về Chuỗi số
      Giả sử ${\{x_n\}}_n$ là một dãy số. Ta lập một dãy mới, ký hiệu ${\{s_n\}}_n$ được xác định bởi
$$\begin{aligned}
s_1\,&=\, x_1\\
s_2\,&=\, x_1+x_2\\
\ldots&\\
s_n\,&=\,x_1+x_2+\cdots+x_n=\sum\limits_{i=1}^{n} x_i\\
\ldots&
\end{aligned}$$
      Khi ấy dãy số ${(s_n)}_n$ này được gọi là một chuỗi số, và cũng được ký hiệu là $\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i$ hay $x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}+....$ Ta gọi $s_n$ là tổng riêng thứ $n$ của chuỗi, $x_n$ là số hạng tổng quát (thứ $n$) của chuỗi. Chuỗi số $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$ được gọi là hội tụ nếu dãy tổng riêng ${\{s_n\}}_n$ hội tụ. Khi ${\{s_n\}}_n$ hội tụ, ta đặt $s=\lim\limits_{n\to\infty}s_n$ và gọi $s$ là tổng của chuỗi. Ta viết $s=\sum\limits_{n=1}^\infty x_i$.
      Như vậy, với cùng một ký hiệu $\sum\limits_{i=1}^{\infty}x_i,$ ta vừa dùng để chỉ một chuỗi vừa chỉ tổng của nó nếu chuỗi này hội tụ. Một chuỗi không hội tụ thì gọi là chuỗi phân kỳ.
2. Một số nhận xét liên quan đến chuỗi số:
      a) Ta có thể đánh số của chuỗi từ một số $n\in\mathbb Z$ nào đó chứ không nhất thiết bắt đầu từ $i=1$, chẳng hạn $\sum\limits_{n=2}^\infty a_n,\;\sum\limits_{i=0}^\infty x_i.$
      b) Giả sử chuỗi số $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$ hội tụ và có tổng $s=\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$. Ta tìm mối liên hệ giữa $s_{n}$ và $s$. Ta có $s=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}+x_{n+1}+x_{n+2}+....$ và $s_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}$. Đặt $r_n =s-s_n$, khi đó
\begin{alignat}{2}
r_n\;&=s-s_n=\sum\limits_{i=1}^\infty x_i -\sum\limits_{i=1}^n x_i\;=\;\lim\limits_{k\to\infty}\left( \sum\limits_{i=1}^{k}x_i-\sum\limits_{i=1}^n x_i\right)\notag\\
&=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{i=n+1}^k x_i \;=\;\sum\limits_{i=n+1}^\infty x_i.\notag
\end{alignat}
Ta gọi $r_n$ là phần dư thứ $n$ của chuỗi $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$. Theo định nghĩa, ta có $\lim\limits_{n\to\infty} r_n=0$.
      c) Chuỗi số chẳng qua là một dãy đặc biệt, được cấu tạo từ một dãy cho trước. Do đó, chuỗi số có đầy đủ các tính chất của dãy số. Ngược lại, cho một dãy số ${\{s_n\}}_n$ ta có thể thiết lập dãy số ${\{x_n\}}_n$ như sau
\begin{alignat}{2}
x_1\;&=\; s_1\notag\\
x_2\;&=\;s_2-s_1\notag\\
\ldots&\ldots\ldots\ldots\notag\\
x_n\;&=\;s_n-s_{n-1}\notag\\
\ldots&\ldots\ldots\ldots\notag
\end{alignat}
     Khi ấy ${\{s_n\}}_n$ trở thành chuỗi số, cấu tạo từ dãy ${\{x_n\}}_n$.
Một cuốn sách khá hay mà chúng tôi chưa đọc hết: Sách chuỗi và phương trình vi phân của Lê Trọng Vinh
3. Một số ví dụ đơn giản để minh họa các định nghĩa liên quan chuỗi số
 
      a) Cho chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}$.  Số hạng tổng quát: $a_{n}=?$. Tổng riêng ? Để ý $\;\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1},\; n\in\mathbb N$, do đó
\begin{alignat}{2}
s_n\;&=\;\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{2\cdot3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)}\notag\\
&=\;\bigl(1-\dfrac{1}{2}\bigl)+\bigl(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\bigl)+\cdots+\bigl(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\bigl)\;=\;1-\dfrac{1}{n+1}.\notag
\end{alignat}
Như vậy $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=?$, chuỗi đã cho hội tụ hay phân kỳ?
Ta có $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$, nên chuỗi đã cho hội tụ. Tổng của chuỗi số?
Ta có $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n(n+1)}=\lim\limits_{n\to\infty}s_n=~1.$
      b) Cấp số nhân
Ta xét chuỗi sau $\sum\limits_{n=0}^\infty q^n$, trong đó $a\in\mathbb R, q\in\mathbb R, q \not= 1.$. Số hạng tổng quát $a_{n}=?$ Tổng riêng ?
-  Vì $q\ne 1$ nên ta có $\; s_n=\dfrac{1-q^n}{1-q},\;q\ne1.$
-  Nếu $|q|<1$ thì $\lim\limits_{n\to\infty}s_n=\dfrac{1}{1-q}$, nên chuỗi hội tụ và $\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\dfrac{1}{1-q}.$
-  Nếu $|q|>1$ thì dãy ${\{s_n\}}_n$ phân kỳ nên chuỗi phân kỳ.
      c)  Cho chuỗi số  $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$, hãy chỉ ra cách biễu diễn số hạng tổng quát  $a_{n}$ qua các tổng riêng? Nếu chuỗi $\sum\limits_{i=1}^\infty a_i$ hội tụ thì có nhận xét gì về sự hội tụ của $a_{n}$?

Chắc ai học sư phạm toán, đang học về chuỗi và dãy số sẽ rất cần: Bộ sách Toán cao cấp hay
Các Khái niệm và Định nghĩa cơ bản về Chuỗi số Reviewed by Tân Phúc on 22:18:00 Rating: 5 Những sinh viên đang học toán đại học cao đẳng không thể không đụng đến chuỗi số. Vì đây là một nội dung quan trọng trong môn giải tích, si...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.