728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Kỹ thuật hệ số không xác định U.C.T trong chứng minh bất đẳng thức

Chắc chắn rằng  sau khi đọc xong bài viết Kỹ thuật hệ số không xác định U.C.T (Undefined Coefficient Technique) các bạn cũng sẽ phần nào cảm nhận được nét đẹp của U.C.T dù rằng thực ra đây là một kĩ thuật cực kì  đơn giản và dễ hiểu. 
Theo tác giả thì họ xem  U.C.T  là một kĩ thuật cần biết và cần nắm vững khi học bất đẳng thức. Nhiều người quan niệm rằng U.C.T không có ý nghĩa gì nhưng thực tế nó nên được khái quát để sử dụng trong một số trường hợp. 
Một số phương pháp hiệu quả khác: 
Chứng minh Bất đẳng thức bằng Kỹ thuật hệ số không xác định U.C.T
 
Để thấy được cái hồn phương pháp này thì chúng ta cùng đi xét một ví dụ đơn giản: Cho $a,b,c$  là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{3}\geq 5$$
Ta thử chứng minh xem nào: Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây
 $$\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\geq \frac{7}{3} - \frac{2a}{3}$$
Thật vậy BĐT trên tương đương với
$$\frac{(a-1)^2{(2a^2+6a+3)}}{3a^2}\geq 0$$
Hiển nhiên đúng với $a$ là số thực dương.
Sử dụng các bất đẳng thức tương tự với $b$ và $c$. Ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi  $a=b=c=1$.

phương pháp chứng minh bđt bằng utc, ky thuat he so bat dinh chung minh bat dang thuc

Chắc chắn ngay khi đọc lời giải cho bài toán “ có phần đơn giản” này bạn có phần lúng túng và không hiểu tại sao lại có thể tìm ra bất đẳng thức phụ một cách “khó hiểu” "trên trời rơi xuống" như vậy. Phải chăng là dự đoán một cách “vô hướng”. Hoặc cũng có người sẽ nghĩ bài toán trên được tạo ra từ chính bất đẳng thức phụ đó. Chúng tôi trả lời ngay rằng: hoàn toàn không phải. Tất cả đều đi theo một lối suy nghĩ có lý, hợp lý và rất chi là tự nhiên. Tất cả đều trải qua một số biến đổi và tư duy mang tính "Kỹ thuật" mà ta gọi là U.C.T, là viết tắt của 3 chữ cái đầu của cụm từ tiếng Anh: Undefined Coefficient Technique. (Cách gọi khác là Kỹ Thuật Hệ số bất định. )
Ở trong tài liệu về U.C.T này nhóm tác giả sẽ phân tích về một kỹ thuật phân tích giúp tìm ra các bất đẳng thức phụ và mở rộng vấn đề này theo chiều hướng khá mới mẻ.  Đây là một kỹ thuật cơ bản và là nền tảng quan trọng trên con đường tìm kiếm lời giải cho những bất đẳng thức khó.

Thử giải BĐT nêu ở phần ví dụ bằng cách sử dụng cái này: Sử dụng véctơ chứng minh bất đẳng thức - Nguyễn Thế Sinh
 
Chúng ta sẽ khởi đầu kỹ thuật này bằng việc đưa ra cách giải thích cho việc tìm ra bất đẳng thức phụ trên và nó cũng chính là cách giải thích cho các bài toán sau này của chúng ta.
Bài toán trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đều không ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay sẽ tách theo từng biến để chứng minh được đơn giản hơn nếu có thể. Nhưng rõ ràng ta chỉ từng đó thôi là không đủ. Nếu ta chứng minh bất đẳng thức sau
su dung phuong phap utc 
Rõ ràng không hoàn  toàn đúng với a thực dương.
Đừng bỏ cuộc tại đây bởi vì ở cách trên ta chưa sử dụng điều kiện  $a+b+c=3$.
Như vậy ta sẽ không đi theo đường lối suy nghĩ đơn giản ban đầu nữa mà sẽ đi tìm hệ số để bất đẳng thức sau là đúng
 thi du ve phuong phap cm bat dang thuc he so bat dinh
Trong đó $m$ và $n$ là các hệ số chưa xác định.
Tương tự với biến $b$ và $c$. Cộng vế theo vế ta có
cach du doan he so trong cm bat dang thuc utc
Như vậy ở đây 2 hệ số $m$ và $n$ phải thỏa mãn điều kiện $m+n=0$. Thế vào (1) dẫn đến
 
Đến đây ta chỉ cần xác định hệ số duy nhất là m để bất đẳng thức (2) là đúng.
Chú ý ở bài toán này điểm cực trị đạt được tại   $a=b=c=1$ nên ta cần xác định $m$ sao cho  

Khi cho $a=1$  thì ta có $\frac{(a+1){(2a^2-3)}}{3a^2}=-\frac{2}{3}$  từ đó ta dự đoán rằng $m=-\frac{2}{3}$  để tạo thành đại lượng bình phương $(a-1)^2$  trong biểu thức. Từ đó ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ
$$\frac{1}{a^2}+\frac{2a^2}{3}\geq \frac{7}{3} - \frac{2a}{3}$$
Mục lục tài liệu Kỹ thuật hệ số không xác định U.C.T
Phần 1.  Bài toán mở đầu.
Phần 2.  Khởi đầu cùng một số bài toán cơ bản.
Phần 3.  Kĩ thuật chuẩn hóa và U.C.T
Phần 4.  U.C.T  và kỹ thuật  phân tách các trường hợp
Phần 5.   Kết hợp bất đẳng thức Vornicu Schur với U.C.T
Phần 6.  Một dạng biểu diễn thú vị
Phần 7.  Giải quyết một số bài toán mà điều kiện liên quan mật thiết đến nhau
Phần 8.   U.C.T mở rộng
Phần 9.   Lời kết
Phần 10. Bài tập áp dụng

Địa chỉ của File Kỹ thuật hệ số bất định trong chứng minh BĐT 

Chắc ai đó sẽ cần: Nguyễn Tất Thu - Khai thác khái niệm lồi lõm để đánh giá bất đẳng thức
Kỹ thuật hệ số không xác định U.C.T trong chứng minh bất đẳng thức Reviewed by Tân Phúc on 13:30:00 Rating: 5 Chắc chắn rằng  sau khi đọc xong bài viết Kỹ thuật hệ số không xác định U.C.T (Undefined Coefficient Technique) các bạn cũng sẽ phần ...

1 nhận xét:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.