728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Một số tính chất của chuỗi hội tụ và những định lý liên quan

Ở đây chúng tôi sẽ trình bầy một số mệnh đề, định lý, tính chất của chuỗi hội tụ để những ai muốn tìm hiểu có thể tiếp cận nhanh. Tất cả đều là những cái cơ bản nhất để giúp chúng ta xem xét sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số thông thường.


Nếu các bạn muốn tìm hiểu căn bản về khái niệm chuỗi số thì có: Các Khái niệm và Định nghĩa cơ bản về Chuỗi số
 
Định lý 1.1:  Nếu chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$ hội tụ thì $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=0.$
Chứng minh
Theo giả thiết, tồn tại $\lim\limits_{n\to\infty} s_n=s.$ Khi ấy dãy con ${(s_n)}_{n\geq2}$ của dãy  ${(s_n)}_{n}$ cũng hội tụ về $s$ nên $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}(s_n-s_{n-1})=0.$
Ví dụ:  Xét sự hội tụ của chuỗi số $\sum\limits_{n=1}^\infty n?$
Như vậy, nếu $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0\ne0$, thì ta có nhận xét gì về sự hội tụ của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^{\infty}x_n$?

tính chất chuổi hội tụ, mot so tinh chat dinh ly menh de chuoi hoi tu

Nhận xét: Định lý 1.1 chỉ là điều kiện cần mà không phải là điều kiện đủ tức là nếu $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$ thì chưa kết luận về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n.$
Thật vậy ta xét chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Ta có $s_{n}= 1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\geq n.\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}$, vì $\lim\limits_{n\to\infty}s_{n} = +\infty$ nên chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ phân kỳ.
Định lý 1.2: Cho chuỗi số $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$. Ta viết
$$\sum\limits_{i=1}^\infty x_i=\sum\limits_{i=1}^{n_0} x_i + \sum\limits_{i=n_0+1}^\infty x_i.$$
Lúc đó $\sum\limits_{i=1}^\infty x_i$ hội tụ khi và chỉ khi $\sum\limits_{i=n_0+1}^\infty x_i$ hội tụ.
Chứng minh
Đặt $s_n=\sum\limits_{i=1}^n x_i ,s_n^*=\sum\limits_{i=n_0+1}^n$ với mọi $n\ge n_0.$ Khi ấy $s_n=\sum\limits_{i=1}^{n_0}x_i+s_n^*$. Vậy  ${(s_n)}_{n}$ hội tụ khi và chỉ khi ${(s_n^*)}_n$ hội tụ.
Định lý 1.3: Cho hai chuỗi hội tụ $\;\sum\limits_{n=1}^\infty x_n,\ \sum\limits_{n=1}^\infty y_n$ và $\alpha\in\mathbb R$, khi ấy các chuỗi $\;\sum\limits_{n=1}^\infty (x_n\pm ~y_n)$,  $\sum\limits_{n=1}^\infty (\alpha x_n)$ hội tụ và
$$\sum\limits_{n=1}^\infty (x_n\pm y_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty x_n\pm \sum\limits_{n=1}^\infty y_n;\quad\sum\limits_{n=1}^\infty (\alpha x_n)=\alpha\sum\limits_{n=1}^\infty x_n.$$ 
Chứng minh
 Ta có
$$\sum\limits_{i=1}^n (x_i\pm y_i)=\sum\limits_{i=1}^n x_i\pm \sum\limits_{i=1}^n y_i;\quad\sum\limits_{i=1}^n (\alpha x_i)=\alpha\sum\limits_{i=1}^n x_i.$$
Chuyển qua giới hạn khi $n\to\infty$, ta có kết quả.

Những ai cần nhiều bài tập để luyện thì có: Bài tập Toán cao cấp của Nguyễn Đình Trí

Định lý 1.4 (Tiêu chuẩn Cauchy): Điều kiện cần và đủ để chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$ hội tụ là với mọi $\varepsilon>0,$ tồn tại $n_0$ sao cho $\left|\sum\limits_{i=n+1}^m x_i\right|<\varepsilon$, với bất kỳ $m\geq n\geq n_0.$Chứng minh
Theo định nghĩa, ta có
$$\left(\sum\limits_{n=1}^\infty x_n \text{ hội tụ }\right)\;\Longleftrightarrow\;\biggl({(s_n)}_{n} \text{ hội tụ}\biggl).$$
Áp dụng tiêu chuẩn Cauchy cho dãy ${(s_n)}_{n}$ ta thấy điều này tương đương
với mệnh đề của định lý.
Nhận xét: Người ta cũng hay viết như sau
$$\left(\sum\limits_{n=1}^\infty x_n \text{ hội tụ }\right)\;\Longleftrightarrow\;\left( \forall\varepsilon>0,\exists n_0, \forall n\geq n_0, \forall p\in\mathbb N \ :\ \biggl|\sum\limits_{i=n+1}^{n+p}x_n\biggl|<\varepsilon\right).$$
Mệnh đề: Tính hội tụ của một chuỗi không thay đổi khi ta thay đổi một số hữu hạn các số hạng của chuỗi đó.
Định lý 1.5: Giả sử $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$ là một chuỗi hội tụ và ${(n_k)}_k$ là một
dãy tăng thực sự các số nguyên tự nhiên. Khi ấy chuỗi $\sum\limits_{k=1}^\infty
y_k$ hội tụ và $\sum\limits_{k=1}^\infty y_k=\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$,
trong đó
\begin{alignat}{2}
y_1\;&=\;x_1+\cdots+x_{n_1}\notag\\
y_2\;&=\;x_{n_1+1}+x_{n_1+2}+\cdots+x_{n_2}\notag\\
\ldots&\ldots\ldots\ldots\notag\\
y_k\;&=\;x_{n_{k-1}+1}+x_{n_{k-1}+2}+\cdots+x_{n_k}\notag\\
\ldots&\ldots\ldots\ldots\notag
\end{alignat}
Chứng minh
Đặt $s_k^*=\sum\limits_{i=1}^k y_i=\sum\limits_{i=1}^{n_k}x_i=s_{n_k}.$ Vậy $(s_{n_k})_k$ là dãy con của dãy tổng riêng  ${(s_n)}_{n}$ nên $(s_{n_k})_k$ hội tụ và $\lim\limits_{k\to\infty}s_k^*=\lim\limits_{k\to\infty}s_{n_k}=s=\lim\limits_{n\to\infty}s_n.$
Nhận xét:
Định lý 1.5 nêu lên tính chất kết hợp của chuỗi số hội tụ. Ngược lại một chuỗi $\sum\limits_{k=1}^\infty y_k$ có thể hội tụ nhưng $\sum\limits_{n=1}^\infty x_n$ phân kỳ. Ta xét ví dụ sau: Chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}$ phân kỳ nhưng chuỗi $\sum\limits_{n=1}^\infty \bigl( (-1)^{n+1}+(-1)^{n+2}\bigl)$ hội tụ.

Chú ý: Nội dung chuỗi số nằm nội dung thi Olympic toán Sinh viên hàng năm, cho nên những bạn đang có dự định thi thì hãy tham khảo:
Một số tính chất của chuỗi hội tụ và những định lý liên quan Reviewed by Tân Phúc on 12:14:00 Rating: 5 Ở đây chúng tôi sẽ trình bầy một số mệnh đề, định lý, tính chất của chuỗi hội tụ để những ai muốn tìm hiểu có thể tiếp cận nhanh. Tất cả đều...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.