728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Phương pháp phân tích tổng các bình phương SOS trong CM Bất Đẳng Thức

Như chúng ta đã biết phương pháp SOS là là phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá mới mẻ. Lịch sử của nó có thể tóm gọn trong mấy lời như sau:
Tháng 8 năm 2004, thầy giáo Trần Phương cùng các cộng sự của mình Trần Tuấn Anh và Trần Anh Cường đã sáng tạo, hay nói đao to búa lớn hơn là phát minh ra Phương pháp phân tích tổng các bình phương SOS để chứng minh các Bất Đẳng Thức.
Đến năm 2006 thì Phạm Kim Hùng đã nghiên cứu về phương pháp SOS chứng minh bất đẳng thức một cách đầy đủ và chi tiết hơn, tuy vậy vẫn còn nhiều vấn đề còn bỏ ngỏ, rất cần nghiên cứu thêm.
Hãy đón đọc: 
Theo đánh giá, thì phương pháp phân tích tổng các bình phương SOS  là một pp tự nhiên và rất hiệu quả. Để thấy được phần nào vẻ tự nhiên này thì chúng ta cùng xét 2 ví dụ.

phan tich tong binh phuong cm bat dang thuc sos, trần phương sáng tạo phương pháp sos
Định lý SOS

Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: Cho $a,b,c\geq 0$, chứng minh rằng
$a^3+b^3+c^3\geq 3abc$
Đối với học sinh THCS tầm khá trở xuống, thậm chí là giỏi đại trà, thì có thể chưa được học bất đẳng thức này ở lớp,  các em học sinh giỏi thật sự thì có thể có được nhiều nhiều chiêu chứng minh nhưng ai cũng phải công nhận cách chứng minh như dưới đây thật dễ hiễu và dễ đi vào lòng người.
Bằng những phân tích đơn giản ta có đẳng thức
$a^3+b^3+c^3-3abc\geq \frac{1}{2}(a+b+c)({(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2)$
Vì $a,b,c\geq 0$ nên từ đẳng thức trên ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.
Những kỹ thuật biến đổi từ  $a^3+b^3+c^3-3abc$ sang $\frac{1}{2}(a+b+c)({(a-b)}^2+{(b-c)}^2+{(c-a)}^2)$ sẽ được trình bày trong tài liệu này phần "Biểu diễn cơ sở của phương pháp SOS"


Ví dụ 2: (IMO 2005): Giả sử $x,y,z$ là các số thực dương $xyz\geq 1$. Chứng minh rằng
$$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{y^5-y^2}{y^5+z^2+x^2}+\frac{z^5-z^2}{z^5+x^2+y^2}\geq 0$$
Bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có
$$\frac{\alpha-\beta}{\alpha+\gamma}\geq \frac{\alpha-\beta .\delta}{\alpha+\gamma .\delta}$$ 
với $\delta\geq 1$. Suy ra 
$$\frac{x^5-x^2}{x^5+y^2+z^2}\geq \frac{x^5-x^2 .xyz}{x^5+(y^2+z^2).xyz}=\frac{x^4-x^2yz}{x^4+yz(y^2+z^2)}$$
Tương tự cũng với phương pháp biến đổi tương đương ta có
  $$\frac{a-bc}{a+cd}\geq \frac{2a-bd}{2a+d^2}$$ 
với $d\geq 2c$. Suy ra
 $$\frac{x^4-x^2yz}{x^4+yz(y^2+z^2)}\geq \frac{2x^4-x^2 (y^2+z^2)}{2x^4+(y^2+z^2)^2}$$
Đặt $a=x^2, b=y^2, c=z^2$, ta cần chứng minh
$$\sum\limits_{a,b,c}\frac{2a^2-a(b+c)}{2a^2+(b+c)^2}\geq 0$$
Bất đẳng thức này tương đương với
$$\sum\limits_{a,b,c}(a-b)^2\frac{c^2+c(a+b)+a^2-ab+b^2}{(2a^2+(b+c)^2)(2b^2+(a+c)^2)}\geq 0$$
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ tương đương $x=y=z=1$.
 
Như vậy ta thấy rằng, chỉ cần sử dụng những kỹ thuật biến đổi rất sơ cấp mọi người hoàn toàn có thể tiệm cận được mức độ Olympic toán. Mong rằng đọc xong cái SoS này, các bạn có thể giải ngon nhiều câu bđt ở ImO.
Tài liệu về phương pháp Sos gồm 43 trang pdf, xin dành tặng độc giả nghiên cứu, ôn thi hsg toán, hãy cho vài lời cảm tạ trước khi tải tài liệu này về nhé. Địa chỉ tài liệu SoS:


Xem thêm:  Bất đẳng thức Garfunkel và một số mở rộng
Phương pháp phân tích tổng các bình phương SOS trong CM Bất Đẳng Thức Reviewed by Tân Phúc on 10:35:00 Rating: 5 Như chúng ta đã biết phương pháp SOS là là phương pháp chứng minh bất đẳng thức khá mới mẻ. Lịch sử của nó có thể tóm gọn trong mấy lời như ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.