728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Không gian con bất biến đối với một tự đồng cấu tuyến tính

Các không gian con bất biến đối với một tự đồng cấu tuyến tính đóng vai vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bởi vì không phải lúc nào người ta cũng có thể làm việc trên toàn bộ không gian.

Nếu các bạn cần một tài liệu khoa học, viết chất lượng cho vấn đề này thì có: Bài giảng Đại số tuyến tính Lý thuyết và Bài tập của thầy Nguyễn Hữu Việt Hưng

1. Định nghĩa Không gian con bất biến: Giả sử $W$ là một không gian con của $V,$ $f: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính (đồng cấu). Khi đó $W$ được gọi là một không gian con bất biến đối với $f$ nếu $f(W)\subset W.$
định nghĩa không gian con bất biến, khong gian con bat bien cua mot tu dong cau tuyen tinh
Nhận xét:
1.  $\{0\}$, Ker$f$, Im$f, V$ là các không gian con riêng của $V.$
2. Giả sử $\lambda$ là giá trị riêng ứng với véctơ riêng $\alpha,$ khi đó không gian con riêng ứng với giá trị riêng $\lambda$ là bất biến đối với $f$. 

2. Trao đổi thêm không gian con bất biến: Việc nghiên cứu $f$ trên toàn không gian $V$ đôi khi gặp khó khăn, vì $V$ quá lớn. Người ta muốn tránh điều này bằng cách hạn chế $f$ lên một số không gian con $W$ nào đó của $V$. Nhưng để cho hạn chế đó vẫn còn là một tự đồng cấu  thì $f(W)\subset W.$ 
\indent Nếu may mắn có các không gian con $W_1, W_2$ bất biến đối với $f$ và $V=W_1\oplus W_2$ thì $f|_{W_1}f|_{W_2}$ là các tự đồng cấu. Mỗi véctơ $v\in V$ có thể viết dưới dạng $v=w_1+w_2,$ trong đó $w_1\in W_1, w_2\in W_2$ và $f(v)=f(w_1)+f(w_2).$ Lúc này, việc nghiên cứu $f$ trên $V$ có thể quy về việc nghiên cứu $f|_{W_1}f|_{W_2}$ trên $W_1, W_2.$ Nói rõ hơn, nếu $f|_{W_1}$ có ma trận là $A$ đối với cơ sở $\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_m\}$ và $f|_{W_2}$ có ma trận là $B$ đối với cơ sở $\{\alpha_{m+1}, \alpha_{m+2},...,\alpha_n\}$ thì $f$ có ma trận là
$$\begin{pmatrix}
A&|&0\\
- - -&&- - -\\
0&|&B\\
\end{pmatrix}$$
đối với cơ sở $\{\alpha_1, \alpha_2,...,\alpha_n\}$. Như thế
$$ \det f =\det f|_{W_1}. \det f|_{W_2}.$$
Do vậy $f$ là đẳng cấu tuyến tính khi và chỉ khi $f|_{W_1}, f|_{W_2}$ cùng là các đẳng cấu tuyến tính.

Không gian con bất biến đối với một tự đồng cấu tuyến tính Reviewed by Tân Phúc on 08:51:00 Rating: 5 Các không gian con bất biến đối với một tự đồng cấu tuyến tính đóng vai vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bởi vì không phải lúc nào ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.