728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Véctơ riêng giá trị riêng của một tự đồng cấu tuyến tính

Hôm nay, chúng ta tìm hiểu định nghĩa véctơ riêng giá trị riêng của một tự đồng cấu tuyến tính và một số ví dụ điển hình. Các ví dụ này do chúng tôi tự biên soạn, ai dùng nhớ khen vài câu nhé.
Tất nhiên bạn cần xem: Bài tập đại số tuyến tính của Nguyễn Doãn Tuấn
1. Định nghĩa Véctơ riêng giá trị riêng: Giả sử $V$ là một không gian véctơ trên trường $\mathbb{K}$, $f: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính (đồng cấu). Khi đó véctơ $\alpha \ne 0$ được gọi là một véctơ riêng của $f$ nếu tồn tại một số $\lambda \in \mathbb{K}$ sao cho
$$f(\alpha)=\lambda \alpha.$$
Số $\lambda$ được gọi là một giá trị riêng của $f$ ứng với véctơ riêng $\alpha.$
Như vậy,  nếu ${\alpha}$ là một véctơ riêng của ánh xạ tuyến tính $f$ thì véctơ ${\beta}=k\alpha, k\ne 0$ cũng là một véctơ riêng của $f$.

xem định nghĩa véctơ riêng giá trị riêng, vec to rieng gia tri rieng cua anh xa tuyen tinh
Bạn hãy thử chứng tỏ ánh xạ như trên là một ánh xạ tuyến tính, hãy thử tìm véctơ riêng và giá trị riêng của $f$.
Chúng tôi có hàng độc này: Giải bài tập đại số tuyến tính có trong cuốn giáo trình của Nguyễn Hữu Việt Hưng
2. Ví dụ về Véctơ riêng giá trị riêng:
a) Ánh xạ
$$\begin{align}
P:{\mathbb{R}}^3&\rightarrow {\mathbb{R}}^3\notag\\
{\alpha}=(x_1, x_2,x_3)&\mapsto (x_1,x_2, 0) \notag
\end{align}$$
là một ánh xạ tuyến tính. (Phép chiếu vuông góc - Sinh viên đã gặp ở phổ thông).
Với $\alpha =(x_1,x_2,0)$ thì $P(\alpha)=\alpha$ cho nên $\alpha =(x_1,x_2,0), x^2_1+x^2_2\ne 0$ là véctơ riêng của $P$ và giá trị riêng tương ứng ở đây $\lambda =1.$
Với $\alpha =(0,0,x_3)$ thì $P(\alpha)=0$ cho nên $\alpha =(0,0,0), x_3\ne 0$ là véctơ riêng của $P$ và giá trị riêng tương ứng ở đây $\lambda =0.$
* Ma trận của ánh xạ tuyến tính này đối với cơ sở chính tắc $e_1=(1,0,0), e_2=(0,1,0), e_3=(0,0,1)$ là
$$A= \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&0\\
\end{pmatrix}$$
b) Xét ánh xạ tuyến tính
$$Q:\mathbb{C}\times \mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}\times \mathbb{C}$$
có ma trận  là
$$A= \begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0\\
\end{pmatrix}$$
đối với cặp cơ sở nào đó trong $\mathbb{C}\times \mathbb{C}.$  Khi đó dễ dàng kiểm tra được
${\alpha}_1=(1,i)$ là một véctơ riêng của $Q$ ứng với giá trị riêng ${\lambda}_1=-i,$ và ${\alpha}_2=(1,-i)$ là một véctơ riêng của $Q$ ứng với giá trị riêng ${\lambda}_2=i.$ Thật vậy, ta có CTTĐ của $Q$ là
$$\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0\\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
c_1\\
c_2\\
\end{pmatrix}$$
do đó
$$\begin{align}
Q:\mathbb{C}\times \mathbb{C}&\rightarrow \mathbb{C}\times \mathbb{C}\notag\\
{\alpha}=(c_1, c_2)&\mapsto (-c_2,c_1) \notag
\end{align}$$
Ta có $Q(\alpha_1)=(-i,1)=-i(1,i)=-i\alpha_1, Q(\alpha_2)=(i,1)=i(1,-i)=i\alpha_2.$
* Với $\alpha=(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ ta có $Q(\alpha)=(-b,a).$  Đây là phép quay tâm $(0,0)$ góc quay ${90}^o.$
Ta có tìm hiểu thêm $A^2$ là ma trận của phép quay $180^{o}$, $A^{-1}$ là ma trận của phép quay $-90^{o}.$
Nghiên cứu kỹ hơn tại: Giáo trình Đại số tuyến tính của Phó giáo sư Đậu Thế Cấp
Véctơ riêng giá trị riêng của một tự đồng cấu tuyến tính Reviewed by Tân Phúc on 18:51:00 Rating: 5 Hôm nay, chúng ta tìm hiểu định nghĩa véctơ riêng giá trị riêng của một tự đồng cấu tuyến tính và một số ví dụ điển hình. Các ví dụ này do c...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.