728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Tìm hiểu về số nguyên tố và các định lý, bài toán cơ bản

Hôm nay chúng ta cùng Tìm hiểu về số nguyên tố và các định lý cơ bản nhất mà chúng ta hay dùng trong việc chứng minh các bài toán liên quan đến số nguyên tố.

Phải nói rằng các tài liệu về số học thì chúng tôi đã có rất nhiều, minh chứng cho điều này thì sơ sơ có:
I/ Định nghĩa số nguyên tố
1) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ: 2, 3, 5, 7 11, 13,17, 19....
2) Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước.
Ví dụ: 4 có 3 ước số: 1 ;  2  và  4 nên  4 là  hợp  số.
3) Các số 0 và 1 không phải là só nguyên tố cũng không phải là hợp số
4) Bất kỳ số tự nhiên lớn hơn 1 nào cũng có ít nhất một ước số nguyên tố
tim hieu ve so nguyen to, tài liệu số nguyên tố, định nghĩa số nguyên tố
Hình: Các số nguyên tố bé hơn 1000
II/ Một số định lý cơ bản về số nguyên tố
1) Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn
Chứng minh:
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố là $p_1; p_2; p_3; ....p_n.$ trong đó $p_n$ là số lớn nhất trong các nguyên tố. Xét số $N = p_1 p_2 ...p_n +1$  thì N chia cho mỗi số nguyên tố $p_i, i=1,2,...n$  đều dư 1 (1)
Mặt khác N là một hợp số (vì nó lớn hơn số nguyên tố lớn nhất là $p_n$) do đó N phải có một ước nguyên tố nào đó, tức là N chia hết cho một trong các số $p_i, i=1,2,...n$               (2)
Ta thấy (2) mâu thuẫn (1).
Vậy không thể có hữu hạn số nguyên tố.
2/ Định lý 2:
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số).
 III/ Cách nhận biết một số nguyên tố
Cách 1:
Chia số đó lần lượt cho các nguyên tố  từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7...
Nếu có một phép chia hết thì số đó không nguyên tố.
Nếu thực hiện phép chia cho đến lúc thương số nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn có số dư  thì số đó là nguyên tố.
Cách 2:
Một số có hai ước số lớn hơn 1 thì số đó không phải là số nguyên tố
Cho học sinh lớp 6 học cách nhận biết 1 số nguyên tố bằng phương pháp thứ nhất (nêu ở trên), là dựa vào định lý cơ bản:
Ước số nguyên tố nhỏ nhất của một hợp số A là một số không vượt quá $\sqrt{A}$.
Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 nên cho học sinh học thuộc, tuy nhiên khi găp 1 số a nào đó (a < 100) muốn xét xem a là số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; 7 hay không.
+ Nếu a chia hết cho 1 trong 4 số đó thì a là hợp số.
+ Nếu a không chia hết cho số nào đó trong 4 số trên thì a là số nguyên tố.
Với quy tắc trên trong một khoản thời gian ngắn, với các dấu hiệu chia hết thì học sinh nhanh chóng trả lời được một số có hai chữ số nào đó là nguyên tố hay không.
Hệ quả:
Nếu có số A > 1 không có một ước số nguyên tố nào từ 2 đến $\sqrt{A}$ thì A là một nguyên tố.
(Do học sinh lớp 6 chưa học khái niệm căn bậc hai nên ta không đặt vấn đề chứng minh định lý này, chỉ giới thiệu để học sinh tham khảo.).
IV/ Số các ước số và tổng các ước số của 1 số:
Giả sử: $A = {p_1}^{x_1} .  {p_2}^{x_2} ......{p_n}^{x_n}$       
Trong đó: $p_i \in P   ; x_i \in  N ; i = 1,2,... n$               
a) Số các ước số của A tính bằng công thức:
$T(A) = (x_1 + 1)(x_2 + 1) .....(x_n + 1)$
Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
Thật vậy:     Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30
        Ư(30)  có 8 phân tử
Ứng dụng: Có thể không cần tìm Ư(A) vẫn biết A có bao nhiêu ước thông qua việc phân tích ra thừa số nguyên tố.
$3^100$ có (100 + 1) = 101 ước
$1 000 000 000 = 10^9 = 2^9.5^9$ có (9 + 1)(9+1) = 100 ước
    Ý nghĩa: Khi thông báo cho học sinh cách tính số ước của một số các em có thể tin tưởng khi viết một tập hợp ước của một số và khẳng định đã đủ hay chưa.
V/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
    1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
    a, b nguyên tố cùng nhau $<=> (a,b) = 1; a,b  \in N$
    2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
    3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
    4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau $<=> (a,b,c) = 1$
    5- a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
        a,b,c nguyên tố sánh đôi $<=> (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1$
VI/ Một số định lý đặc biệt về số nguyên tố
    1) Định lý Đirichlet
    Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng:
    $p = ax + b (x  \in N, a, b$ là 2 số nguyên tố cùng nhau).
        Việc chứng minh định lý này khá phức tạp, trừ một số trường hợp đặc biệt.
          Ví dụ: Chứng minh rằng có vô số số nguyên tố dạng: $2x – 1; 3x – 1; 4x + 3; 6x + 5.....$
2) Định lý Tchebycheff
    Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố    (n > 2).
 3) Định lý Vinogradow
    Mọi số lẻ lớn hơn $3^3$ là tổng của 3 số nguyên tố.
    Các định lý 2 và 3 ta có thể giới thiệu cho học sinh tham khảo và sử dụng để giải một số bài tập.  

V/ Trích một vài bài toán về số nguyên tố
Bài tập số 1:
Tìm tất cả các giá trị của số nguyên tố p để:  p + 10 và p + 14 cũng là số nguyên tố.
Giải:    (Phương pháp: Chứng minh duy nhất)
+ Nếu p = 3  thì p + 10 = 3 + 10 = 13
và p + 14 = 3 + 14 = 17 đều là các số nguyên tố
Do đó p = 3 là giá trị cần tìm
+ Nếu p khác  3 => p có dạng 3k + 1 hoặc dạng 3k – 1
* Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : 3
* Nếu p = 3k – 1 thì p + 10 = 3k + 9  = 3(k + 3) : 3
Vậy nếu p  khác 3 thì hoặc p + 10 hoặc p + 14 là hợp số.
=> không thỏa mãn bài ra
Do đó: giá trị duy nhất cần tìm là: p = 3
Bài tập số 2:
Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6;  p + 18     đều là số nguyên tố.
Giải:
Bằng cách giải tương tự bài tập số 1, học sinh dễ dàng tìm được p = 5 thoả mãn bài ra. Xong không chứng minh được p = 5 là giá trị duy nhất vì dễ dàng thấy  p = 11 cũng thoả mãn bài ra.
Vậy với bài tập này, học sinh chỉ cần chỉ ra một vài giá trị của p thoả mãn là đủ.
Bài tập số 3:
Tìm k để trong 10 số tự nhiên liên tiếp: k + 1; k +2; k +3;....k +10 có nhiều số nguyên tố nhất.
Giải:
Giáo viên hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét: Trong 10 số tự nhiên liên tiếp, có 5 số chẵn và 5 số lẻ (trong 5 số chẵn, có nhiều nhất là 1 số nguyên tố chẵn là 2).
Vậy: trong 10 số đó có không quá 6 số nguyên tố
+) Nếu k = 0, từ 1 đến 10 có 4 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7
+) Nếu k = 1 từ 2 đến 11 có 5 số nguyên tố: 2; 3; 5; 7; 11
+) Nếu k > 1 từ 3 trở đi không có số chẵn nào là số nguyên tố. Trong 5 số lẻ liên tiếp, ít nhất có 1 số là bội số của 3 do đó, dãy sẽ có ít hơn 5 số nguyên tố.
Vậy với k = 1, dãy tương ứng: k + 1;  k + 2, ..... k + 10 có chứa nhiều số nguyên tố nhất (5 số nguyên tố).  
Bài tập số 4:
Nếu p là số nguyên tố và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p – 1 là số nguyên tố thì số còn lại là số nguyên tố hay hợp số?
Giải:
+) Nếu $p = 2 => 8p +1 = 17 \in  P   , 8p – 1 = 15 \in P$
+) Nếu $p = 3 => 8p – 1 = 23 \in P  , 8p – 1 = 25 \in P$
+) Nếu p khác 3, xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 8p – 1; 8p và 8p + 1. Trong 3 số này ắt có 1 số chia hết cho 3. Nên một trong hai số  8p + 1 và 8p – 1 chia hết cho 3.
Kết luận: Nếu $p\in P$  và 1 trong 2 số 8p + 1 và $8p – 1\in  P$  thì số còn lại phải là hợp số.
Bài tập số 5:
Nếu p < 5 và 2p + 1 là các số nguyên tố thì 4p + 1 là nguyên tố hay hợp số
Giải:
Xét 3 số tự nhiên liên tiếp: 4p; 4p + 1; 4p + 2
Trong 3 số ắt có một số là bội của 3
Mà  $p < 5,  p \in P$  nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
+) Nếu p = 3k + 1 thì 4p = 4(3k + 1) <=> 3Q + 1 = p
và 4p + 2 = 4(3k + 1) + 2 <=> p = 3.Q : 3
Mặt khác: 4p + 2 = 2(2p +1) = 3Q nên 3Q : 3
=> 2(2p + 1) : 3;    (2;3) = 1 nên (2p + 1) : 3 (trái với giả thiết)
+) Nếu p có dạng 3k + 2
Khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 12k + 9 = 3M : 3
=> 4p + 1 là hợp số
Vậy trong 3 số ắt có một số là bội của 3.

Trên đây là lý thuyết cơ bản và vài bài toán đơn giản nhất về số nguyên tố, nếu ai cần tài liệu của thầy Lê Đình Huân đầy đủ hơn thì tải về mà xem nhé. Download

Nghiên cứu thêm:  Tài liệu về chuyên đề số học của VMF
Tìm hiểu về số nguyên tố và các định lý, bài toán cơ bản Reviewed by Tân Phúc on 10:36:00 Rating: 5 Hôm nay chúng ta cùng Tìm hiểu về số nguyên tố và các định lý cơ bản nhất mà chúng ta hay dùng trong việc chứng minh các bài toán liên quan ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.