728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Bài toán kết thúc mở thứ nhất phát triển tư duy học sinh có năng khiếu toán học

Kỳ này chúng tôi chia sẻ với độc giả là quý thầy cô các bài toán kết thúc mở, một trong những công cụ giúp phát triển tư duy của các em học sinh có năng khiếu toán học ở phổ thông, các bài toán này được thiết kế khá cẩn thận sao cho có thể cung cấp cho HS cơ hội để suy nghĩ và làm toán theo nhiều cách sáng tạo, để các em có cơ hội bộc lộ ra quá trình tư duy của mình và để cho các em suy luận khái quát hóa và trừu tượng hóa. 
Bài viết được quan tâm nhất:
Trước hết chúng ta cần quan tâm đến một số định nghĩa cơ bản nhất.
Bài toán kết thúc mở: là bài toán trong đó giáo viên đưa ra một tình huống và yêu cầu HS thể hiện bài làm của mình. Nó có thể sắp xếp từ mức độ đơn giản như yêu cầu HS chứng tỏ một công việc đến phức tạp hơn như yêu cầu HS thêm giả thiết hoặc giải thích các tình huống toán học, viết ra phương hướng, tạo ra các bài toán mới liên quan… Bài toán kết thúc mở thường có cấu trúc thiếu như thiếu dữ liệu, giả thiết và không có thuật toán cố định để giải. Điều này dẫn đến có nhiều lời giải đúng hoặc nhiều tiếp cận, nhiều phương pháp để giải quyết một bài toán kết thúc mở. [1]

su dung bai toan ket thuc mo de phat trien tu duy hoc toan, bài toán kết thúc mở thứ nhất

Tư duy toán học: Wood, Williams & McNeal (2006, [2]) mô tả tư duy toán học là “hoạt động trí tuệ liên quan đến sự trừu tượng hóa và khái quát hóa các ý tưởng toán học”. Williams (2000, [3]) dựa trên nghiên cứu của Krutetskii (1976, [4]) và thang các mức độ nhận thức của Bloom để tạo ra khung phân loại các hoạt động nhận thức trong GQVĐ. Sau đó Williams kết hợp thang nhận thức này với ba hành động quan sát được mà Dreyfus, Hershkowitz & Schwarz (2001, [5]) cho rằng xảy ra trong các hoạt động trừu tượng hóa và khái quát hóa. Ba hoạt động nhận thức quan sát được bao gồm: nhận ra (recognising), thiết lập với (building-with) và kiến tạo nên (constructing). Từ đó Williams chia ra các phạm trù nhỏ hơn, bao gồm:
  •  hiểu-nhận ra, 
  • áp dụng-nhận ra, 
  • áp dụng-thiết lập với, 
  • phân tích-thiết lập với, 
  • phân tích-tổng hợp-thiết lập với, 
  • phân tích-đánh giá-thiết lập với, 
  • tổng hợp-kiến tạo nên, 
  • đánh giá-kiến tạo nên.
Năng khiếu toán học: Krutetskii (1976, [4]) mô tả năng khiếu là “một đặc điểm cá nhân mà cho phép người đó thực hiện một nhiệm vụ cho trước một cách nhanh chóng và đúng đắn, tương phản với một thói quen hay là một kỹ năng”. Theo Krutetskii, HS có năng khiếu toán học có thể thấu hiểu tài liệu theo đúng quy cách, xử lý thông tin một cách lôgic, lập nên các tổng quát hóa, suy nghĩ linh hoạt, đảo hướng trong quá trình thực hiện, rút ngắn tư duy toán học, năng lực lưu giữ kiến thức và suy nghĩ một cách toán học trong hầu hết các tình huống. 
Hôm nay, chúng tôi chia sẻ bài toán kết thúc mở thứ nhất, bài toán cái hộp mở:
Với một tờ bìa hình vuông, hãy nêu cách làm một cái hộp (có dạng hình hộp chữ nhật) đựng được nhiều thứ nhất? Trình bày và giải thích chi tiết quá trình em đi đến lời giải (Chú ý rằng hộp phải có đáy nhưng không cần có nắp).
Đây là một bài toán có liên hệ với thực tế và nó tạo cơ hội cho học sinh suy nghĩ và tìm cách giải quyết một cách tự nhiên. Bài toán có thể được giải quyết ở các mức độ sau.
Có thể cắt 4 hình vuông bằng nhau từ 4 góc của tờ bìa và gấp tờ bìa sau khi cắt thành một cái hộp. Khi đó có thể dùng bất đẳng thức Cô si để tìm thể tích lớn nhất của cái hộp. Gọi x là độ dài cạnh của bốn hình vuông cắt ra, a là độ dài cạnh của tờ bìa, theo bất đẳng thức Cô si cho 3 số ta có:
\[V=x{{(a-2x)}^{2}}=\frac{4x{{(a-2x)}^{2}}}{4}\le \frac{1}{4}{{(\frac{4x+a-2x+a-2x}{3})}^{3}}=\frac{1}{4}{{(\frac{2a}{3})}^{3}}\].
Dấu bằng xảy ra khi $4x=a-2x\Leftrightarrow x=\frac{a}{6}$. Khi đó các hình vuông cắt ra có cạnh bằng 1/6 cạnh của tờ bìa.
Bài toán cũng có thể giải như sau (nếu HS đã biết đạo hàm).
\[V=x{{(a-2x)}^{2}}=4{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+{{a}^{2}}x, ($0<x<\frac{a}{2}).\]
Suy ra $V'=12{{x}^{2}}-8ax+{{a}^{2}}$,
\[V'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
   x=\frac{a}{6}  \\
   x=\frac{a}{2}  \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow x=\frac{a}{6}\]
(loại $x=\frac{a}{2}$ do $0<x<\frac{a}{2}$).
Có thể cắt 4 hình vuông từ các góc của tờ bìa nhưng sau đó không vứt bỏ chúng đi mà dán chúng vào phần còn lại. Với cách này thì sẽ có nhiều sự chọn lựa cách dán khác nhau.
Có thể không bằng phương pháp cắt các góc tờ bìa như trên mà dùng lập luận toán học để tìm ra thể tích lớn nhất của cái hộp. Khi đó tình huống thực tế được chuyển thành bài toán toán học: “Tìm thể tích lớn nhất của hình hộp chữ nhật mở (không có nắp trên) khi tổng diện tích các mặt của nó là một số cố định”.
Bằng trực giác HS dự đoán rằng nếu hình hộp đóng (có nắp trên) có tổng diện tích các mặt là một số cố định thì thể tích của nó lớn nhất khi nó là hình lập phương. Vì HS đã dự đoán là hình lập phương nên các em sẽ tìm cách để sử dụng bất đẳng thức Côsi. Có thể lập luận như sau.
Giả sử x, y, z là chiều dài ba cạnh của hình hộp, xuất phát từ cùng một đỉnh, S là diện tích bề mặt, V là thể tích. Rõ ràng là $S=2(xy+yz+zx)$, $V=xyz$. Sau khi nhận xét rằng tổng ba đại lượng xy, yz, zx bằng $\frac{S}{2}$, còn tích của chúng bằng ${{V}^{2}}$, tất nhiên ta nhớ tới định lý Cô si:
$${{V}^{2}}={{(xyz)}^{2}}\le{{\left(\frac{xy+yz+zx}{3}\right)}^{3}}={{\left( \frac{S}{6}\right)}^{3}}$$
hay là $V\le {{\left( \frac{S}{6} \right)}^{\frac{3}{2}}}$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $xy=yz=zx$ hay là $x=y=z$.
Khi đã có lời giải cho hình hộp đóng thì có thể chuyển từ hình hộp đóng sang hình hộp mở bằng cách lấy hai hình hộp mở giống nhau và lật ngược một hình rồi đặt đối diện lên trên hình hộp kia. Khi đó ta tạo được một hình hộp đóng có thể tích là 2V, trong đó ta đã biết diện tích toàn phần là 2S. Theo kết quả trên, khi thể tích là cực đại thì cái hộp đóng phải là hình lập phương. Khi đó hình hộp mở cần tìm sẽ là một nửa hình lập phương tức là hình hộp mà có đáy là hình vuông và chiều cao bằng một nửa độ dài cạnh đáy.
Cách giải quyết khác là có thể áp dụng phương pháp giải quyết tương tự như trường hợp hình hộp đóng. Sử dụng các ký hiệu tương tự như phần trên, ta có:
$$V=xyz,S=xy+2yz+2zx,{{\left(\frac{S}{3}\right)}^{3}}\ge xy.2yz.2zx=4{{V}^{2}}$$
Dấu bằng xảy ra khi $xy=2yz=2zx$, hay là $x=y=2z$. Cái hộp này là nửa hình lập phương.

Tài liệu tham khảo:
1. Trần Vui (2006), Những xu hướng mới trong dạy học toán, Bài giảng cho học viên Cao học, ĐHSP-ĐH Huế.
2. Wood, T., Williams, G. &  McNeal, B. (2006), “Children's mathematical thinking in different classroom cultures”, Journal for Research in Mathematics Education, 37(3), pp. 222-255, National Council of Teachers of Mathematics, USA.
3. Williams, G. (2000), “Collaborative problem solving and discovered complexity”, Proceedings of the 23rd Annual Conference of International Group for Psychology of Mathematics Education (In J. Bana & A. Chapman), 2, pp. 656-663, MERGA, Western Australia.
4. Krutetskii, V. A. (1976), The psychology of mathematical abilities in schoolchildren, The University of Chicago Press, Chicago.
5. Dreyfus, T., Hershkowitz, R. & Schwarz, B. (2001), “The construction of abstract knowledge in interaction”, Proceedings of the 25th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, pp. 377-384, The Netherlands.

Một số tài liệu cho học sinh năng khiếu toán cấp 3:
Bài toán kết thúc mở thứ nhất phát triển tư duy học sinh có năng khiếu toán học Reviewed by Tân Phúc on 23:38:00 Rating: 5 Kỳ này chúng tôi chia sẻ với độc giả là quý thầy cô các bài toán kết thúc mở, một trong những công cụ giúp phát triển tư duy của các em học...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.