728x90 AdSpace

Bấm nút để theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Quá trình giải quyết vấn đề của HS trên bài toán Kết thúc mở thứ nhất (KTM I)

Hôm trước, độc giả đã được chúng tôi giới thiệu bài toán kết thúc mở thứ nhất, hôm nay hãy bàn đến quá trình giải quyết vấn đề của học sinh trên bài toán KTM này nhé. Các nghiên cứu của bạn Mai Hoa sẽ giúp ích cho mọi người.
Trước hết bạn cần biết:  
Đây là một bài toán khác lạ bởi vì các em chưa từng gặp một bài toán tương tự trước đó và tờ bìa để làm hộp không đưa cho các em một giá trị bằng số cụ thể nào để bắt đầu. Bối cảnh bài toán là thực tế và nó tạo cơ hội cho học sinh suy nghĩ và tìm cách giải quyết một cách tự nhiên. Tất cả sáu HS đều đã được biết về bất đẳng thức Cô si cho 3 số.

Bạn muốn GQVĐ: Các phương pháp giải quyết vấn đề trong dạy học toán

Cách tiếp cận thông thường là thiết lập một mối quan hệ giữa độ dài của cạnh các hình vuông cắt ra từ các góc của tờ bìa và thể tích của cái hộp bên dưới.   
giai quyet bai toan mo thu nhat cua hoc sinh pho thong, giải quyết bài toán có kết thúc mở ktm 1 
Trước hết chúng tôi quan sát thấy một vài HS cố gắng thử xếp tờ giấy (mà không cắt ra) chỉ đơn giản là xem cái hộp như thế nào, trong khi đó các HS khác nói:
  • HÓA: Cái hộp sẽ là hộp chữ nhật hay là hộp vuông?
  • HOÀNG: Cần cắt 4 góc của tờ bìa, 4 phần cắt này chắc chắn phải bằng nhau và phải là hình vuông.
  • LAM: Cần tìm mối liên hệ giữa cạnh của các hình vuông cắt ra và thể tích của cái hộp.
  • VIỆT: Nếu phần cắt đi càng nhiều thì có lẽ cái hộp sẽ càng bé lại.
  • HÓA: Cái hộp này phải có dạng hình lập phương.
HS Việt thì có một sự hiểu nhầm đó là nếu phần cắt bỏ càng nhiều thì thể tích của cái hộp sẽ bé. HS Hóa đưa ra một dự đoán, tuy nhiên dự đoán này của em là không đúng, bởi vì cái hộp cần tìm là cái hộp mở (không cần nắp) chứ không phải là cái hộp có nắp.
Đó là các suy nghĩ đầu tiên của các em. Trong nhiệm vụ này, thách thức toán học trở nên một sự tìm kiếm mối quan hệ giữa chiều cao và thể tích của hình hộp. Việc nhận ra các thách thức toán học là cần thiết để phát triển lập luận ở các em. 
Sau đó tất cả các HS vẽ hình ra giấy, các em gọi x là độ dài 4 cạnh hình vuông cắt ra từ các góc tờ bìa, a là độ dài cạnh tờ bìa hình vuông ban đầu, rồi thiết lập công thức tính thể tích của cái hộp $V=f(x)=x{{(a-2x)}^{2}}$ và dùng bất đẳng thức Cô si:
\[V=x{{(a-2x)}^{2}}=\frac{4x{{(a-2x)}^{2}}}{4}\le \frac{1}{4}{{(\frac{4x+a-2x+a-2x}{3})}^{3}}=\frac{1}{4}{{(\frac{2a}{3})}^{3}}\]
Dấu bằng xảy ra khi $4x=a-2x\Leftrightarrow x=\frac{a}{6}$.
Từ đó các em kết luận rằng: cần cắt ra các hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{6}$ cạnh của tờ bìa.

* Lưu ý, cách phân tích ở trên các bạn có thể bắt gặp ở:  Ví dụ về việc sử dụng tấm lợp đại số
 
Việc các em biết phân tích để tìm ra mối quan hệ giữa chiều cao và thể tích hình hộp để áp dụng bất đẳng thức Cô si thể hiện phân tích-thiết lập với.
Các em đều thấy được cách dựng hình hộp bằng cách cắt 4 góc của tờ bìa. Hóa cũng cắt 4 hình vuông ra từ các góc tờ bìa, tuy nhiên sau khi em dùng bất đẳng thức Cô si để lập luận thể tích lớn nhất của hộp, em suy nghĩ đến việc ghép các mảnh bìa đã cắt ra vào hộp.
HÓA: Nếu như ghép các mảnh bìa đã cắt ra vào hình hộp thì có được không?
Sự thắc mắc của Hóa thể hiện phân tích-đánh giá-thiết lập với. Em nhận thấy rằng nếu không vứt bỏ một mảnh giấy nào, tức là nếu có thể ghép các mảnh giấy thừa vào cái hộp thì sẽ làm cho thể tích của nó tăng thêm. Các HS khác cũng nhận thấy cần phải tìm cách ghép 4 hình vuông cắt ra vào phần còn lại.
Hoàng, Việt và Tiến cùng đề xuất ra cách ghép như sau: Ghép 4 hình vuông lại với nhau thành một hình chữ nhật, sau đó cắt thành 4 dải có bề rộng bằng nhau, rồi nối vào các cạnh của hình hộp (hình 1). 
HS Tiến còn đưa ra một cách ghép khác. Em chia tờ giấy hình vuông thành 12 phần bằng nhau và cắt hai hình vuông từ hai góc kề nhau và dán chúng vào chính giữa cạnh đối diện (hình 2). Tiến so sánh hai phương pháp này, em nhận thấy sự khác biệt chủ yếu ở đây là cách tạo ra đáy là hình vuông hay hình chữ nhật. Việc Tiến đưa ra nhiều cách ghép và so sánh các cách ghép thể hiện mức độ tư duy phân tích-tổng hợp-thiết lập với.

giai quyet bai toan mo thu nhat cua mai hoa
HS Việt, Lam đưa ra cách ghép khác bằng cách chia hình vuông thành 9 phần và ghép như trong hình 3. Tuy nhiên Việt cũng nhận ra rằng còn có nhiều cách ghép nữa và nếu làm như vậy thì khó mà biết được cái hộp nào có thể tích lớn nhất. Việt đã biết đánh giá rằng với phương pháp cắt ghép như vậy thì chưa hợp lý, chưa có thể tìm ra lời giải tối ưu, thể hiện mức độ tư duy của em là phân tích-đánh giá-thiết lập với.
Đến đây các em nỗ lực tìm cách biểu diễn bài toán để sử dụng những kiến thức đã học. Các em chuyển từ tình huống thực tế thành tình huống toán học: “Tìm thể tích lớn nhất của hình hộp mở khi tổng diện tích các mặt của nó là một số cố định” và phát biểu bài toán theo ngôn ngữ của chính các em, thể hiện một trong những đặc điểm của HS có năng khiếu.
  • HOÀNG: Diện tích toàn phần không đổi, thể tích lớn nhất.
  • YẾN: Tổng diện tích 5 mặt không thay đổi, cần tìm max của thể tích.
  • HOÀNG: Cần tìm mối quan hệ giữa diện tích và thể tích. Ừ, có gì tương tự với mối quan hệ giữa chu vi và diện tích nhỉ? Không, chắc nó không phải là hình lập phương.
  • LAM: Ta cần biểu diễn thể tích hộp và diện tích của tấm bìa và so sánh chúng với nhau.
Cả Hoàng, Hóa và Lam đều lập ra công thức tính diện tích 5 mặt của cái hộp và thể tích của nó. Các em viết ra:
Giả sử x, y, z là chiều dài ba cạnh của hình hộp, xuất phát từ cùng một đỉnh, S là diện tích bề mặt, V là thể tích của hộp, $V=xyz$, $S=xy+2yz+2zx$, rồi các em chứng minh được: ${{\left( \frac{S}{3} \right)}^{3}}\ge xy.2yz.2zx=4{{V}^{2}}$. Dấu bằng xảy ra khi $xy=2yz=2zx$, hay là $x=y=2z$.
Các em chỉ ra cái hộp cần dựng có đáy là hình vuông và chiều cao bằng một nửa cạnh đáy.
Việc các em biết cách phân tích mối liên hệ giữa thể tích và diện tích; sử dụng BĐT Cô si để giải quyết bài toán thể hiện phân tích-tổng hợp-thiết lập với.
Còn HS Tiến thì đưa ra dự đoán sau:
TIẾN: Nếu cái hộp mà có nắp thì nó sẽ có thể tích lớn nhất khi nó là hình lập phương? Em đoán vậy.
Sau đó Tiến tìm cách chứng minh. Em trình bày cách chứng minh cũng tương tự như các HS khác chứng minh cho trường hợp cái hộp có nắp.
${{V}^{2}}={{(xyz)}^{2}}\le {{\left( \frac{xy+yz+zx}{3} \right)}^{3}}={{\left( \frac{S}{6} \right)}^{3}}$ hay là $V\le {{\left( \frac{S}{6} \right)}^{\frac{3}{2}}}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z$.
Việc em đưa ra dự đoán và chứng minh dự đoán này cũng thể hiện mức độ tư duy là phân tích-thiết lập với.
TIẾN: Nhưng cần tìm thể tích của hộp mở chứ không phải là hộp đóng. Hình hộp mở ... bằng một nửa hình hộp đóng. Ừ, nếu cắt đôi cái hộp đóng thì ta sẽ được cái hộp mở.
Hóa ban đầu dự đoán cái hộp mở cần tìm có dạng hình lập phương, sau đó em sửa lại cái hộp đóng là hình lập phương mới có thể tích lớn nhất, em đưa ra cách giải thích tương tự:
HÓA: Ta lấy hai hình hộp mở giống nhau và lật ngược một hộp rồi đặt đối diện lên trên cái hộp kia. Khi đó ta tạo được một hình hộp đóng có thể tích là 2V, với tổng diện tích sáu mặt là 2S. Theo kết quả trên, khi thể tích là cực đại thì cái hộp kép phải là hình lập phương. Khi đó hình hộp mở cần tìm là hình hộp mà có đáy là hình vuông và chiều cao bằng một nửa chiều dài cạnh đáy.
Riêng Việt và Yến thì không lập luận được để tìm ra thể tích lớn nhất của cái hộp, cả hai em chỉ dừng lại ở việc cắt ghép hình, do đó các em chưa thực sự hoàn thành bài toán.
Cả Tiến và Hóa đều tìm ra được cái hộp cần tìm là một nửa hình lập phương bằng phương pháp chuyển từ hình hộp đóng sang hình hộp mở. Chúng tôi đánh giá đây thể hiện một sự nhuần nhuyễn và độc đáo trong tư duy của các em, thể hiện rõ nét đặc điểm của HS có NKTH. Mức độ tư duy mà hai em thể hiện ở đây là tổng hợp-kiến tạo nên. Với phương pháp của Tiến, GV phỏng vấn em:
GV: Em có thể đặt ra bài toán có tương tự với bài toán này không?
TIẾN: Cho một hình lăng trụ đứng tam giác, có tổng diện tích 4 mặt là không đổi (bỏ đi một mặt bên). Tìm thể tích cực đại của nó.
GV: Vậy hình đó có thể tích lớn nhất khi nào?
TIẾN: Tương tự như cách giải quyết cho hình hộp mở. Thể tích max khi nó là một nửa hình lập phương mà ta có được khi cắt hình lập phương bằng mặt phẳng chéo.
Việc em tự đặt ra và giải quyết bài toán mới cũng thể hiện một đặc điểm của HS có NKTH, đồng thời mức độ tư duy mà em thể hiện ra là đánh giá-kiến tạo nên.

Tài liệu tham khảo:
1. Trần Vui (2005), Những xu hướng mới về đo lường và đánh giá khả năng toán học,  Bài giảng cho học viên Cao học, ĐHSP-ĐH Huế.
2. Trần Vui (2006), Những xu hướng mới trong dạy học toán, Bài giảng cho học viên Cao học, ĐHSP-ĐH Huế. (Tóm tắt ở đây)
3. Becker, J. P. & Shimada, S. (1997), The Open-Ended Approach: A new Proposal for Teaching Mathematics, National Council of Teachers of Mathematics, USA.
4. Chan, C. M. E. (2005), Engaging Students in Open-Ended Mathematics Problem Tasks: A Sharing on Teachers’ Production and Classroom Experience, Nanyang Technological University, Singapore.

Quá trình giải quyết vấn đề của HS trên bài toán Kết thúc mở thứ nhất (KTM I) Reviewed by Tân Phúc on 10:15:00 Rating: 5 Hôm trước, độc giả đã được chúng tôi giới thiệu bài toán kết thúc mở thứ nhất, hôm nay hãy bàn đến quá trình giải quyết vấn đề của học sinh ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.