728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Một hình thức biểu diễn bội giúp nâng cao hiệu quả dạy học: Chứng minh không từ ngữ!

Nhiều nghiên cứu về giáo dục toán gần đây cho thấy trong các tiết học nội dung Đại số ở THCS, hạn chế của việc người dạy điều hướng học sinh sử dụng các lập luận, biến đổi đại số chặt chẽ về mặt toán học để  phát hiện các kiến thức mới là người học sẽ cảm thấy có cái gì đó không tự nhiên, sự ghi nhớ kiến thức của người học dễ trở nên máy móc. Do vậy, ở trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách tiếp cận mới, đó là sử dụng các chứng minh không từ ngữ trong trong dạy học các nội dung Đại số ở THCS giúp cho giảng viên và sinh viên có thêm những công cụ hữu hiệu nhằm khắc phục vấn đề nêu ở trên và nâng cao hiệu quả dạy học.
Bạn cần biết: Những nhận định định hướng cách tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội
1. GIỚI THIỆU VỀ BIỂU DIỄN BỘI
1.1. Định nghĩa biểu diễn bội
       Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo dục toán. Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ.
       Biểu diễn bội là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau.
hình thức biểu diễn bội cho số 23, chung minh ko tu ngu va bieu dien boi

Hình 1. Biểu diễn số 23 dưới những hình thức khác nhau
        Biểu diễn như là một công cụ của tư duy. Chúng ta biểu diễn một vấn đề  hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy. Hơn nữa biểu diễn còn được  xem  như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin.
       Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở Bảng 1., trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng. 
phan loai bieu dien boi trong day hoc toan o pho thong
Bảng 1. Phân loại, mô tả các loại biểu diễn
1.2.  Sơ lược lịch sử nghiên cứu việc dạy học môn toán sử dụng biểu diễn bội
       Theo Tadao Nakahara thì tư duy toán học được được phát triển sâu sắc thông qua các biểu diễn. NCTM 2000 (Các nguyên tắc và tiêu chuẩn cho toán học nhà trường) có nói: "Khi học sinh tiếp cận được các biểu diễn toán học và các ý tưởng mà các em biểu diễn, các em sẽ  phát triển khả năng tư duy toán học; và với những cách biểu diễn các ý tưởng toán học đó cho thấy học sinh hiểu và sử dụng các kiến thức toán học đó tốt đến mức nào". Nhà giáo dục phải nhận ra rằng học sinh của họ luôn nổ lực để hiểu thế giới theo ngôn ngữ, văn hóa riêng của chúng và phải hiểu rằng  tất cả các học sinh có thể dùng biểu diễn bội để giao tiếp các ý tưởng với nhau, để kết nối các ý tưởng với tư duy toán học của các em.
       Theo Keith Jones, biểu diễn trực quan nói chung là khả năng biểu diễn, chuyển đổi, giao tiếp, dẫn chứng và phản ánh bằng thông tin trực quan. Như vậy, nó là một thành phần quan trọng trong việc học các khái niệm hình học. Một hình ảnh trực quan được xem là một nhân tố quan trọng góp phần tạo ra cảm giác tự tin và gần gũi cho học sinh trong học toán (Fischbein). Do đó, biểu diễn trực quan không chỉ tổ chức các dữ liệu thành các cấu trúc có ý nghĩa mà nó còn là nhân tố quan trọng trong việc hướng dẫn tiến trình phân tích giải quyết vấn đề.
       Ben-Claim (1989) nói rằng: "bản chất của biểu diễn trực quan là cho phép phần lớn học sinh hiểu được dạng trình bày không hình thức của một chứng minh suy diễn toán học thay cho dạng đại số vượt khỏi sự hiểu biết của các em."
       Ngày nay, người ta thừa nhận rộng rãi rằng các biểu diễn đứng ở vị trí trung tâm trong việc dạy, học và làm toán. Cộng đồng giáo dục toán cũng khẳng định mạnh mẽ rằng: học sinh có thể nắm vững được ý nghĩa của các khái niệm toán học khi được trải nghiệm với các biểu diễn bội. Có hai hình thức biểu diễn bội được sử dụng nhiều trong quá trình dạy học ở các nước tiên tiến đó là: chứng minh không từ ngữ và tấm lợp đại số.
2. SỬ DỤNG CHỨNG MINH KHÔNG TỪ NGỮ NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ DẠY HỌC CÁC NỘI DUNG ĐẠI SỐ Ở THCS
2.1.  Định nghĩa chứng minh không từ ngữ
       Chứng minh không từ ngữ (proof without words) cách gọi khác là chứng minh bằng hình ảnh (proof by picture), là cách chứng minh dùng một hay nhiều hình ảnh để chứng tỏ một kết luận là đúng và những "ý tứ" chứng minh thường ẩn trong hình ảnh. Đôi khi để rõ hơn vấn đề chứng minh thì các hình vẽ có thể đi kèm với một hay vài gợi ý.
       Do đặc điểm của phương pháp này, cho nên đôi khi để hiểu được một số chứng minh không từ ngữ thì đòi hỏi người đọc phải có một nền tảng cơ sở toán học nhất định.
       Dưới đây là cách chứng minh định lý Pitago của Chou Pei Suan Ching (500-200 TCN)
chung minh pitago bang hinh ve tuyet cu meo
 Hình 2. Chứng minh định lý Pitago
       Ta có thể hiểu cách chứng minh trên như sau sử dụng 4 tam giác vuông bằng nhau có các cạnh  , b và c, các tam giác này được sắp xếp thành một hình vuông lớn có cạnh là cạnh huyền c. Các tam giác bằng nhau có diện tích $\frac{1}{2}\text{ab}$ , khi đó hình vuông nhỏ bên trong có cạnh là b − a và diện tích là ${{\left( \text{b }\!\!~\!\!\text{ }-\text{ }\!\!~\!\!\text{ a} \right)}^{2}}$.  Diện tích của hình vuông lớn là:
${{\left( \text{b}-\text{a} \right)}^{2}}+4\frac{\text{ab}}{2}={{\left( \text{b}-\text{a} \right)}^{2}}+2\text{ab}={{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}$
vì hình vuông lớn có cạnh là c và có diện tích ${{\text{c}}^{2}}$, nên ${{\text{c}}^{2}}\text{ }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }={{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}.$
       Tổng thống thứ hai mươi của Hoa Kỳ James Abram Garfield (19 tháng 11 năm 1831 - 19 tháng 9 năm 1881) là vị Tổng thống có nhiệm kỳ ngắn ngủi thứ hai (sau William Henry Harrison) trong lịch sử Hoa Kỳ. Năm 1876, ông đã có một cách chứng minh không từ ngữ cho Định lý Pitago, chúng ta có thể thấy ở bên dưới đây
tong thong my gioi toan nhat chung minh dinh ly pitago
 Hình 3. Chứng minh định lý Pitago
       Chứng minh không từ ngữ là một hình thức biểu diễn bội. Hình thức biễu diễn này thu hút được giác quan, tạo ra một hình ảnh trực quan cho người học và làm cho người học hiểu các khái niệm, các định lý tốt hơn. Phương pháp chứng minh không từ ngữ thực sự sáng tạo và độc đáo, nó có thể chuyển những khái niệm trừu tượng thành những hình ảnh gần gũi và dễ dàng cho việc phân tích của chúng ta và giúp cho người học có khả năng tư duy trừu tượng.
Bạn đã xem chưa: Một vài phép chứng minh không từ ngữ bất đẳng thức Cô Si 
2.2. Giới thiệu vài phép chứng minh không từ ngữ cho một số công thức, mệnh đề
       Mệnh đề 1:  Với$\text{a }\!\!~\!\!\text{ }>\text{ }\!\!~\!\!\text{ b }\!\!~\!\!\text{ }>\text{ }\!\!~\!\!\text{ }0$, ta có
${{\text{a}}^{2}}-{{\text{b}}^{2}}=\left( \text{a}-\text{b} \right)\left( \text{a}+\text{b} \right)$
       Chứng minh:
       Mệnh đề 2: Cho a, b > 0, khi đó
${{\left( \text{a}+\text{b} \right)}^{2}}={{\text{a}}^{2}}+2\text{ab}+{{\text{b}}^{2}}$
       Chứng minh:
 Mệnh đề 3: Cho a > b > 0, khi đó
${{\left( \text{a}+\text{b} \right)}^{2}}+{{\left( \text{a}-\text{b} \right)}^{2}}=2\left( {{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}} \right)$
       Chứng minh:

Mệnh đề 4: Cho n là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 thì
$1+2+3+\ldots +\text{n}=\frac{\text{n}\left( \text{n}+1 \right)}{2}$
       Chứng minh:

        Mệnh đề 5:  Cho   a, b> 0, khi đó
$\frac{\text{a}+\text{b}}{2}\ge \sqrt{\text{ab}}$
        Chứng minh:
        Cách 1:
        Cách 2:

Mệnh đề 6:  Cho a, b,c, d > 0, khi đó
$\frac{\text{a}}{\text{b}}<\frac{\text{c}}{\text{d}}\Rightarrow \frac{\text{a}}{\text{b}}<\frac{\text{a}+\text{c}}{\text{b}+\text{d}}<\frac{\text{c}}{\text{d}}$
       Chứng minh:
       Cách 1:
chứng minh không từ ngữ bất đẳng thức thông thường

       Cách 2:
 2.3. Sử dụng chứng minh không từ ngữ trong thiết kế hoạt động dạy học
       Ví dụ 1: Giáo viên có thể sử dụng phép chứng minh ở để Mệnh đề 1. để minh họa cho hằng đẳng thức ${{\text{a}}^{2}}-{{\text{b}}^{2}}=\left( \text{a}-\text{b} \right)\left( \text{a}+\text{b} \right),$ ngay sau khi các em học sinh thực hiện xong việc khám phá hằng đẳng thức trên bằng biến đổi đại số, hoặc giáo viên có thể thiết kế hoạt động để học sinh có thể khám phá hằng đẳng thức này, trong đó yêu cầu học sinh ghi chép lại các kết quả sau khi tự mình hoặc cùng với nhóm khám phá các kết quả đó.
       Hoạt động: Cho một hình vuông lớn có độ dài cạnh là a, chia hình vuông lớn này thành các hình nhỏ và tô màu chúng. Hình vuông màu trắng có độ dài các cạnh là b, như hình vẽ minh họa bên dưới.

Các em hãy thực hiện các yêu cầu dưới đây và ghi các kết quả vào phần bài làm.
       1. Tính diện tích hình vuông lớn?
       2. Tính diện tích hình vuông màu trắng?
       3. Các em hãy dùng kéo cắt bỏ hình vuông nhỏ màu trắng. Theo các em, phần còn lại có diện tích bao nhiêu?
       4. Các em hãy cắt rời ba hình ở phần còn lại (hình màu xanh da trời, hình màu xanh lá cây, hình màu gạch), sau đó hãy tìm cách lắp ghép ba hình này để được một hình chữ nhật. Hãy vẽ hình lên phiếu minh họa cách lắp ghép đó? Hãy cho biết độ dài các cạnh của hình chữ nhật mà các em lắp ghép được?
       5. Chúng ta cùng xem xét hình chữ nhật mà các em lắp ghép được ở trên. Theo các em thì có bao nhiêu cách tính diện tích hình chữ nhật này?  Dựa vào kết quả của những cách tính đó các em suy ra được công thức gì?
       Ví dụ 2: Giáo viên có thể sử dụng phép chứng minh ở Mệnh đề 4. để minh họa cho công thức
$1+2+3+\ldots +\text{n}=\frac{\text{n}\left( \text{n}+1 \right)}{2}$
cách minh họa này sẽ giúp học sinh dễ ghi nhớ được kết quả, và giúp học sinh có niềm tin tự nhiên hơn vào kết quả. Giáo viên cũng có thể thiết kế hoạt động để học sinh có thể tự khám phá, kiến tạo công thức nhằm đặt hiệu quả dạy học cao hơn.
       Hoạt động: Ta sắp xếp các viên bi đỏ và xanh theo một trật tự như hình vẽ dưới đây.
     1. Nhìn vào hình vẽ các em sẽ thấy các viên bi đỏ và xanh được sắp xếp vào các cột. Bằng cách tính số lượng viên bi đỏ có trong mỗi cột, sau đó suy ra số lượng viên bi đỏ có trong hình?
       2. Em hãy tìm cách tính nhanh số lượng viên bi có trong hình vẽ trên? Em có nhận xét gì về số lượng viên bi đỏ so với số lượng các viên bi có trong hình?
       3. Cách tính số lượng viên bi đỏ ở Câu 1 và Câu 2 giúp em kết luận được điều gì?
       4. Bây giờ, chúng ta tăng số lượng viên bi và sắp xếp chúng  theo một trật tự tương tự như ở trên.
Các em hãy trả lời các câu hỏi có nội dung như ở Câu 1, Câu 2, Câu 3 đối với hình vẽ này?

       5. Từ các kết luận ở trên, các em có thể phát hiện ra được công thức nào?  

Nếu cần một cơ sở vững chắc, hãy đọc: Vai trò của biểu diễn bội trong dạy học toán

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Trần Vui (2008), Dạy và học có hiệu quả môn Toán theo những Xu hướng mới. Giáo trình cho học viên cao học ngành Lý luận và phương pháp dạy học toán, Đại học Sư phạm, Huế.
[2]. Trần Vui (2008), Những xu hướng nghiên cứu giáo dục toán Toán, NXB ĐH Huế.
[3]. Roger B. Nelsen (1997), Proofs without Words: Exercises in Visual Thinking, Mathematical Association of America.

Một hình thức biểu diễn bội giúp nâng cao hiệu quả dạy học: Chứng minh không từ ngữ! Reviewed by Tân Phúc on 09:54:00 Rating: 5 Nhiều nghiên cứu về giáo dục toán gần đây cho thấy trong các tiết học nội dung Đại số ở THCS, hạn chế của việc người dạy điều hướng học sin...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.