728x90 AdSpace

Theo dõi và chia sẻ các bài viết mới
Tin nhanh

Quá trình thảo luận, giải quyết bài toán KTM thứ hai của học sinh

Các bạn đã quen với bài toán kết thuc mở thứ hai chưa? Chắc là rồi, xin nhắc lại là không phải bài toán đố vui đâu nhé, mà là bài toán được sử dụng vào dụng ý nâng cao chất lượng dạy học. Có lẽ lượng độc giả quan tâm vấn đề này chủ yếu là các học viên sau đại học, tuy ít nhưng chúng tôi cảm thấy vui vì được giúp ích gì đó cho các bạn.
Nội dung Bài toán KTM thứ hai: Có 40 đồ vật trong một cửa hàng, biết rằng mỗi vật có khối lượng (là một số nguyên) khác nhau và nặng từ 1 kg đến 40 kg. Dùng một cân đĩa và mỗi lần cân một vật cùng lúc với các quả cân phù hợp. Hỏi ta nên dùng những quả cân nào để có thể dùng ít quả cân nhất. Giải thích cách chọn của em.
loi giai bai toan ket thuc mo thu hai cua hoc sinh
Hiểu thêm về bài toán này ở đây: Bài toán kết thúc mở thứ hai: bài toán các quả cân
 
Qua thực nghiệm, mời bạn đọc xem quá trình giải quyết vấn đề của nhóm học sinh như sau:  
Sau khoảng 5 phút suy nghĩ các HS đưa ra các quả cân như sau:

- HOÀNG: Em nghĩ là chỉ cần dùng quả cân 1 kg là đủ. Vì với quả cân 1kg thì ta cân được vật 1 kg. Sau đó với quả cân 1kg và vật nặng 1kg bỏ cùng một bên đĩa cân, ta cân được vật 2 kg, vân vân, đến hết mọi vật.
Tuy nhiên cách lựa chọn của em là không đúng, vì bài toán này yêu cầu mỗi lần cân chỉ được cân một vật. Còn Hoàng thì mỗi lần em đã cân 2 vật nặng. Mặc dù giải thích của em là không phù hợp, nhưng em cũng thể hiện một lập luận khá nhạy bén.
- VIỆT: Em nghĩ rằng số các quả cân là 1, 2, 4, 8, 16. À, thêm quả cân 32 nữa. Có sáu quả cân tất cả. Em thấy như thế là tốt rồi.
- GV: Em hãy giải thích sự lựa chọn của mình?
- VIỆT: Quả cân cần phải có chắc chắn phải là 1 kg, em chọn quả cân thứ hai là 2 kg. Khi đó em cân được các vật 1 kg, 2 kg, 3 kg. Tiếp tục lấy quả 4 kg thì em cân thêm được vật 4, 5, 6, 7 (kg), nên em phải lấy tiếp quả 8 kg, khi đó em cân được vật 8, 9, 10, 11, ...,15 (kg). Tương tự em chọn quả cân tiếp theo là 16 kg và 32 kg.
Các em Hoàng, Tiến thì chọn các quả cân 1, 3, 9, 27. Hoàng giải thích lý do như sau:
- HOÀNG: Để số lượng quả cân ít nhất, em nghĩ rằng tránh việc lặp lại. Chắc chắn phải có quả cân 1 kg. Bây giờ nếu chọn quả cân 2 kg thì em có thể cân vật 1 kg bằng hai cách. Cách thứ nhất là đặt vật 1 kg với quả cân 1 kg; cách thứ hai là đặt vật 1 kg và quả cân 1 kg trên cùng một đĩa cân và đĩa cân kia đặt vật 2 kg. Như vậy có sự lặp lại, nên em không chọn quả cân 2 kg. Nếu ta chọn quả cân 3 kg thì không có sự lặp lại. Với các quả cân 1 kg và 3 kg thì ta có thể cân các vật 1, 2, 3, 4 (kg). Thêm quả cân 5 kg thì sẽ có sự lặp lại do $2=3-1$ hoặc $2=5-3$. Vì thế không chọn 5 kg... Tương tự 9 kg là quả cân tiếp theo và sau đó là 27 kg.
- TIẾN: Cần ít nhất là bốn quả cân. Bởi vì nếu chỉ dùng một quả, chắc chắn phải dùng quả 1 kg, khi đó ta chỉ có thể cân được một vật nặng 1 kg. Nếu dùng hai quả cân, giả sử 1 kg và a kg, khi đó ta chỉ cân được bốn vật nặng 1, $a-1$, a, $a+1$ (kg). Nếu dùng ba quả cân, giả sử 1 kg, a kg và b kg ($a<b$) thì ta cân được 13 vật, đó là 1, a, b, $1+a$, $1+b$, $a+b$, $b-a$, $b-1$, $a-1$, $b-a-1$, $b-a+1$, $b+a-1$,  và $a+b+1$. Tương tự nếu dùng bốn quả thì ta có thể cân được 40 vật. Do đó ít nhất ta phải dùng bốn quả cân.
Tương tự như giải thích của Tiến và Hoàng, hai em Lam và Hóa lập luận:
- LAM: Quả cân đầu tiên là 1 kg, nếu lấy quả cân thứ hai là 2 kg thì em phải dùng đến sáu quả cân, nhưng nếu lấy quả cân thứ hai là 3 kg thì ta có thể cân thêm các vật nặng 2, 4 kg. Khi lấy thêm quả cân 5 kg thì số vật nặng được cân thêm bị lặp lại: $5-1=4$ hoặc $5-3=2$, tương tự cho các quả cân 6, 7, 8 (kg). Nên ta lấy quả cân thứ ba là 9 kg. Khi đó ta cân được các vật là 5 kg ($=9-1-3$), 6 kg ($=9-3$), 7 kg ($=9+1-3$), 8 kg ( ), 10 kg ($=9+1$), 11 kg ($=9+3-1$), 12 kg ($=9+3$), 13 kg ($=9+3+1$)...vân vân, và quả cân thứ tư mà em chọn là 27 kg.
- HÓA: Em bắt đầu với hai quả cân 1 kg và 3 kg. Vì thế vật lớn nhất mà em cân được là 4 kg, vật nhỏ nhất mà em không cân được là 5 kg. Vì thế em phải chọn quả cân tiếp theo là 9 kg. Tương tự như vậy, với các quả cân 1 kg, 3 kg, 9 kg thì vật lớn nhất mà em có thể cân là 13 kg, vật bé nhất mà em không thể cân là 14 kg, nên em chọn quả cân tiếp theo là 27 kg ($=13+14$). Bây giờ em có thể cân tới $1+3+9+27=40$(kg).
Qua việc các HS phân tích tình huống bài toán để tìm ra các quả cân và giải thích một cách phù hợp thể hiện phân tích-thiết lập với, phân tích-tổng hợp-thiết lập với, phân tích-đánh giá-thiết lập với.
HS Tiến còn rút ra một khẳng định sau:
TIẾN: Em thấy có một điều thú vị, đó là nếu lấy tổng các lũy thừa của 3 cộng với một số tự nhiên liền sau tổng đó ta lại được một lũy thừa của 3.
- GV: Điều này có đúng trong mọi trường hợp không?
- TIẾN: Em nghĩ là có, chắc chắn như vậy.
Để khẳng định điều đó, em viết ra $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{3}^{i}}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{3}^{i}}}+1={{3}^{n+1}}$, và sau đó em chứng minh nó bằng phép quy nạp toán học. Nhận xét của Tiến thể hiện mức độ tư duy là phân tích-tổng hợp-thiết lập với.
- HOÀNG: Để cân các vật nặng từ 1 kg đến 40 kg thì cần ít nhất là bốn quả cân (1, 3, 9, 27), vậy nếu dùng năm quả cân (thêm vào quả cân 81 kg) thì ta có thể cân các vật nặng tới 121 kg.
Hoàng đã đặt ra một vấn đề ngược của bài toán. Việc Hoàng nhận ra ý tưởng đã dùng trước đó để khám phá thêm bài toán cũng cho thấy mức độ tư duy là phân tích-tổng hợp-thiết lập với.
Ngoại trừ Việt tìm ra các quả cân 1, 2, 4, 8, 16, 32 (kg) và Yến thì không tìm ra các quả cân nào, các HS còn lại đều xác nhận sự tồn tại của sự biểu diễn các số tự nhiên từ 1 đến 40 dùng các lũy thừa của 3. GV chọn hai em Hóa và Hoàng để phỏng vấn.
- GV: Bây giờ em có thể phát biểu lại bài toán theo ngôn ngữ toán học như thế nào?
- HÓA: Mọi số tự nhiên từ 1 đến 40 đều có thể biểu diễn bằng cách cộng trừ các số hạng trong tập hợp {1, 3, 9, 27}.
- HOÀNG: Các số tự nhiên từ 1 đến 40 có thể diễn bằng cách cộng và trừ các lũy thừa của 3 đến ${{3}^{3}}.$
- GV: Em có thể khái quát hóa điều đó như thế nào?
- HOÀNG: Bất kỳ một số tự nhiên nào đều cũng có thể biểu diễn bằng cách cộng trừ các lũy thừa của 3.
- GV: Điều đó có đúng với các lũy thừa của 2 không? Em có thể chứng minh điều em vừa khẳng định không?
- HOÀNG: Đúng. Bởi vì nếu $n={{a}_{0}}+{{a}_{1}}.2+{{a}_{2}}{{.2}^{2}}+...+{{a}_{i}}{{.2}^{i}}$ thì các hệ số ${{a}_{i}}=0$ hoặc ${{a}_{i}}=1$, nên sự biểu diễn luôn thực hiện được.
- HÓA: Mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn bằng cách cộng các lũy thừa của 2. Điều đó dễ dàng thấy được.
- HÓA: (Sau 10 phút) vì $n={{a}_{0}}+{{a}_{1}}.3+{{a}_{2}}{{.3}^{2}}+...+{{a}_{i}}{{.3}^{i}}$ thì ${{a}_{i}}=0$ hoặc ${{a}_{i}}=1$ hoặc ${{a}_{i}}=2$. Nếu các hệ số   chỉ bằng 0 hoặc 1 thì sự biểu diễn đó luôn thực hiện được. Còn nếu có một hệ số bằng 2 thì sao? Ta có thể phân tích ${{2.3}^{i}}=(3-1){{.3}^{i}}={{3}^{i+1}}-{{3}^{i}}$. Chứng tỏ rằng bất kỳ một số tự nhiên nào cũng đều biểu diễn được theo lũy thừa của 3.
- HÓA: Nếu biểu diễn với các lũy thừa của 3 ta cần cả phép cộng và phép trừ.
- GV: Vậy còn nếu biểu diễn theo các lũy thừa của 5 thì sao?
- HÓA: Không thể biểu diễn nếu chỉ dùng phép cộng, trừ.
- GV: Vậy thì sự biểu diễn đó là gì?
- HOÀNG: (sau 5 phút suy nghĩ) Như vậy các hệ số   trong biểu diễn theo cơ số 3 chỉ cần dùng  , $-1$ và 0. Em dự đoán là nếu biểu diễn theo cơ số 5 thì các ${{a}_{i}}$ có thể chỉ là +1, $-1$, +3, $-3$ và 0.
Hoàng thử biểu diễn vài số theo các lũy thừa của 5 và em thấy đúng như vậy.
- HÓA: Không chỉ cho cơ số 5, Em nghĩ là bất kỳ một sự biểu diễn theo cơ số lẻ nào ta cũng có thể chuyển các hệ số ${{a}_{i}}$ về các hệ số có tính “cân bằng”. Chẳng hạn với cơ số $2n+1$ thì có thể dùng các hệ số là 0, $\pm $1, $\pm $2,..., $\pm $n.
- GV: Vậy còn những cơ số chẵn thì sao? Có thể biểu diễn một số bất kỳ theo cơ số chẵn không?
- HOÀNG: Em đoán sự biểu diễn theo cơ số cân bằng là không thể áp dụng cho cơ số chẵn do là số chẵn nên một sự cân bằng qua 0 không thể đạt được.
Em đặt ra câu hỏi này và em tự trả lời. Với sự thắc mắc đó thể hiện mức độ tư duy là phân tích-đánh giá-thiết lập với.


Tìm hiểu thêm: Hoạt động học tập và nội dung của hoạt động phát hiện, giải quyết vấn đề trong Toán học


Các HS đã khảo sát về sự biểu diễn một số bất kỳ theo các cơ số 2, 3, rồi mở rộng cho các cơ số lẻ, chẵn khác. Việc HS khảo sát bài toán từ nhiều khía cạnh hơn là hướng về một lời giải chứng tỏ mức độ tư duy mà các em thể hiện là tổng hợp-kiến tạo nên. Hơn nữa các em Hoàng và Hóa đã phát triển sự biểu diễn theo các hệ số “cân bằng” để có thể sử dụng cho tất cả các cơ số lẻ cũng thể hiện mức độ đánh giá-kiến tạo nên.
Sriraman (2003, [27]) khảo sát thực hành của các HS có năng khiếu toán lớp 9 khi các em làm việc trên năm bài toán tổ hợp phức tạp trong vòng ba tháng và ông nêu ra mối quan hệ giữa năng khiếu toán học và năng lực khái quát hóa. Qua việc giải quyết bài toán này, các HS trong nghiên cứu này cũng thể hiện năng lực khái quát hóa. Điều đó được thể hiện như sau: Có thể cân 40 vật để xác định số quả cân ít nhất như thế nào? $={{T}_{1}}\Rightarrow $ Mọi số tự nhiên từ 1 đến 40 có thể biểu diễn bằng cách cộng trừ các lũy thừa của 3 không? $={{T}_{2}}\Rightarrow $ Có phải mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn bằng cách cộng trừ các lũy thừa của 3 được không? $={{T}_{3}}\Rightarrow $ Sử dụng lũy thừa của những số khác, có một sự biểu diễn tương tự không? $={{T}_{4}}\Rightarrow $ Có một sự biểu diễn theo các hệ số cân đối cho các cơ số lẻ, còn các cơ số chẵn thì sao? Sự khái quát hóa này xảy ra với nhiều đặc điểm khác nhau. Trong đó ${{T}_{2}}$ là một sự khái quát hóa có tính mở rộng, ở đó phạm vi khả năng áp dụng của một sự biểu diễn đã tồn tại là được mở rộng từ các số tự nhiên thuộc khoảng [1; 40] ra tất cả các số tự nhiên. Còn ${{T}_{3}}$ là kết quả của khái quát hóa có tính chất xây dựng lại, trong đó sự biểu diễn các số với lũy thừa của 3 trước đó có thể xây dựng lại thành sự biểu diễn theo hệ số cân đối để mở rộng phạm vi áp dụng cho các lũy thừa khác. ${{T}_{4}}$ có thể xem là một sự khái quát hóa có tính xây dựng lại, nếu sự biểu diễn là tìm thấy bao gồm các lũy thừa của các số chẵn và lẻ.

Bài trước đây: Quá trình giải quyết vấn đề của HS trên bài toán Kết thúc mở thứ nhất
Quá trình thảo luận, giải quyết bài toán KTM thứ hai của học sinh Reviewed by Tân Phúc on 15:35:00 Rating: 5 Các bạn đã quen với bài toán kết thuc mở thứ hai chưa? Chắc là rồi, xin nhắc lại là không phải bài toán đố vui đâu nhé, mà là bài toán đ...

Không có nhận xét nào:

Xin vui lòng để lại vài dòng nhận xét hoặc đánh giá có nội dung. Sự quan tâm, chia sẻ của quý độc giả sẽ tạo ra những trải nghiệm tuyệt vời cho cộng đồng bạn đọc cả nước.