Định nghĩa tích phân, các phương pháp tính cơ bản nhất và ứng dụng thực tiễn

Dưới đây là định nghĩa tích phân, các phương pháp tính tích phân cơ bản nhất và những  ứng dụng thực tiễn. Định gõ bằng Latex hết nhưng nhìn có vẽ không đẹp nên đưa dạng ảnh cho dễ nhìn.

Các định nghĩa liên quan:

• [Định nghĩa] Nguyên hàm và các phương pháp tìm cơ bản nhất
• [Định nghĩa] Tích vô hướng của hai véc tơ, biểu thức tọa độ và ứng dụng

Dưới đây là hiển thị dạng Tex, trong không đẹp lắm.

1. Định nghĩa

Cho $f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên $K$ và $a,\text{ }b$ là hai số bất kì thuộc $K$. Giả sử $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $K$ thì hiệu số

$F\left( b \right)-F\left( a \right)$

được gọi là tích phân của   từ   đến   và kí hiệu là

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=\left. F\left( x \right) \right|_{a}^{b}=F\left( b \right)-F\left( a \right)$.

2. Tính chất

a. Tích phân tại một giá trị xác định của biến số thì bằng $0$, tức là

$\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)\text{d}x}=0$.

b. Đổi cận thì đổi dấu, tức là

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=-\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)\text{d}x}$.

c. Hằng số trong tích phân có thể đưa ra ngoài dấu tích phân, tức là

$\int\limits_{a}^{b}{kf\left( x \right)\text{d}x}=k\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$ ($k$ là hằng số).

d. Tích phân một tổng bằng tổng các tích phân, tức là

$\int\limits_{a}^{b}{\left[ f\left( x \right)\pm g\left( x \right) \right]\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}\pm \int\limits_{a}^{b}{g\left( x \right)\text{d}x}$.

e. Tách đôi tích phân, tức là

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)\text{d}x}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$.

Chú ý: Tích phân $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}$ chỉ phụ thuộc vào hàm $f$ và các cận $a,\text{ }b$ mà không phụ thuộc vào biến số $x$, tức là

$\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)\text{d}t}$.

Các định nghĩa cao cấp hơn: 

• Một số tính chất của chuỗi hội tụ và những định lý liên quan
• Không gian con bất biến đối với một tự đồng cấu tuyến tính

11:30:00